exercices
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
L’abonné reçoit aussi des appels, lorsque la ligne est libre, arrivant sui vant un pro
ces sus de Pois son de taux a ; la durée aléa toire d’une telle conver sa tion est encore
régie par une loi de Pois son de taux m. On remar quera que dans ce cas de récep tion
d’un appel, la phase 1 n’a pas lieu pour la ligne étu diée.
1. Asso cier au fonc tion ne ment de la ligne un pro ces sus de Markov à
3 états E 0 , E 1 , E 2 , ; décrire en détail chaque état.
Tra cer le graphe asso cié ; valuer chaque arc par le taux de la tran si tion cor
res pon dant.
2. Ce pro ces sus est il ergodique ? Jus ti fier.
3. Sachant que l 5 a 5 3 appels/heure, qu’une conver sa tion dure en
moyenne 3 minutes et que la phase 1 dure en moyenne 20 secondes, cal cu
ler numé ri que ment les pro ba bi li tés des états en régime per manent (appli
quer le théo rème des coupes à E 0 et E 1 ). On pren dra l’heure comme unité
com mune de temps.
Déter mi ner pen dant com bien de temps, en moyenne et par heure, la ligne
est libre.
**5.12 Appli ca tion des pro ces sus de nais sance et de mort
Une société d’infor ma tique pos sé dant un puissant ordi na teur a ins tallé N ter mi naux
iden tiques dans cer tains de ses bureaux. Chaque ter mi nal peut tom ber en panne avec
un taux a : la pro ba bi lité qu’un ter mi nal en état de marche à t tombe en panne entre t
et t 1 dt vaut a dt ; les pannes des dif fé rents ter mi naux sont indé pen dantes.
Les bureaux sou hai tant une inter ven tion rapide après une panne, la société étu die
deux poli tiques de main te nance entre les quelles elle devra choi sir.
La poli tique P1 consiste à enga ger R répa ra teurs (R , N ) et à en envoyer un dès
qu’une panne se pro duit dans un bureau, s’ils ne sont pas tous déjà occu pés ; lorsque
les répa ra teurs sont tous occu pés et que des pannes sur viennent, les répa ra tions ont
lieu ulté rieu re ment dans l’ordre d’occur rence de ces pannes.
La poli tique P2 consiste à enga ger un seul répa ra teur, et consti tuer un stock de
S ter mi naux de rechange. Lors qu’une panne sur vient dans un bureau et que le stock
de ter mi naux n’est pas nul, le ter mi nal hors d’état est immédiatement rem placé par
un ter mi nal pris dans le stock ; celui hors service est envoyé à l’ate lier de répa ra tion
où le répa ra teur, s’il est libre, remet ce ter mi nal en état puis le replace dans le stock.
Si le stock est nul, le bureau doit attendre la répa ra tion de son ter mi nal.
Dans tous les cas la durée d’une répa ra tion obéit à une loi expo nen tielle de
taux b.
On sup pose négli geable le temps néces saire au dépla ce ment des répa ra teurs ou au
rem pla ce ment d’un ter mi nal par un autre.
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
L’abonné reçoit aussi des appels, lorsque la ligne est libre, arrivant sui vant un pro
ces sus de Pois son de taux a ; la durée aléa toire d’une telle conver sa tion est encore
régie par une loi de Pois son de taux m. On remar quera que dans ce cas de récep tion
d’un appel, la phase 1 n’a pas lieu pour la ligne étu diée.
1. Asso cier au fonc tion ne ment de la ligne un pro ces sus de Markov à
3 états E 0 , E 1 , E 2 , ; décrire en détail chaque état.
Tra cer le graphe asso cié ; valuer chaque arc par le taux de la tran si tion cor
res pon dant.
2. Ce pro ces sus est il ergodique ? Jus ti fier.
3. Sachant que l 5 a 5 3 appels/heure, qu’une conver sa tion dure en
moyenne 3 minutes et que la phase 1 dure en moyenne 20 secondes, cal cu
ler numé ri que ment les pro ba bi li tés des états en régime per manent (appli
quer le théo rème des coupes à E 0 et E 1 ). On pren dra l’heure comme unité
com mune de temps.
Déter mi ner pen dant com bien de temps, en moyenne et par heure, la ligne
est libre.
**5.12 Appli ca tion des pro ces sus de nais sance et de mort
Une société d’infor ma tique pos sé dant un puissant ordi na teur a ins tallé N ter mi naux
iden tiques dans cer tains de ses bureaux. Chaque ter mi nal peut tom ber en panne avec
un taux a : la pro ba bi lité qu’un ter mi nal en état de marche à t tombe en panne entre t
et t 1 dt vaut a dt ; les pannes des dif fé rents ter mi naux sont indé pen dantes.
Les bureaux sou hai tant une inter ven tion rapide après une panne, la société étu die
deux poli tiques de main te nance entre les quelles elle devra choi sir.
La poli tique P1 consiste à enga ger R répa ra teurs (R , N ) et à en envoyer un dès
qu’une panne se pro duit dans un bureau, s’ils ne sont pas tous déjà occu pés ; lorsque
les répa ra teurs sont tous occu pés et que des pannes sur viennent, les répa ra tions ont
lieu ulté rieu re ment dans l’ordre d’occur rence de ces pannes.
La poli tique P2 consiste à enga ger un seul répa ra teur, et consti tuer un stock de
S ter mi naux de rechange. Lors qu’une panne sur vient dans un bureau et que le stock
de ter mi naux n’est pas nul, le ter mi nal hors d’état est immédiatement rem placé par
un ter mi nal pris dans le stock ; celui hors service est envoyé à l’ate lier de répa ra tion
où le répa ra teur, s’il est libre, remet ce ter mi nal en état puis le replace dans le stock.
Si le stock est nul, le bureau doit attendre la répa ra tion de son ter mi nal.
Dans tous les cas la durée d’une répa ra tion obéit à une loi expo nen tielle de
taux b.
On sup pose négli geable le temps néces saire au dépla ce ment des répa ra teurs ou au
rem pla ce ment d’un ter mi nal par un autre.