Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
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**5.9 Un autre pro ces sus de nais sance
Pour un cer tain micro organisme, la pro ba bi lité de se sépa rer en deux micro
organismes pen dant l’inter valle de temps [t, t 1 dt] est indé pen dante de t et égale à
l dt 1 o(dt) ; la pro ba bi lité qu’il y ait plus d’une sépa ra tion dans cet inter valle est
négli geable (en o(dt)).
On sup pose qu’il existe un seul micro organisme à l’ins tant ini tial (t 5 0).
Mon trer que la pro ba bi lité p n (t) pour qu’il y ait n micro organismes à l’ins tant
t est :
p n (t) 5 e
2l t # (1 2 e
2l t
)
n21
, (m $ 1).
Géné ra li ser au cas où il y aurait N micro organismes pré sents à t 5 0.
***5.10 Lien entre pro ces sus de Markov et chaîne de Markov
Soit un pro ces sus de Markov fini.
1. Sachant qu’à t 5 0 le pro ces sus est dans l’état E i , mon trer que la pro
ba bi lité pour que – en quit tant l’état E i pour la pre mière fois – le pro ces sus
passe par l’état E j est :
p ij 5 l ij /q i (où q i 5 a
j 2i
l ij )
Véri fier que a
j 2i
p ij 5 1
2. Éva luer la pro ba bi lité d’une « tra jec toire » sui vie entre t 5 t 0 et t 5 t n :
P3X t 0 5 E i 0 , X t 1 5 E i 1 , c , X t n 2 1 5 E i n 2 1 , X t n 5 E i n 4,
où t k est la date d’entrée dans l’état E ik et : t 0 , t 1 , c , t n1 , t n
On se donne p i 0 ( 0) 5 P3X t 0 5 E i 0 4
*5.11 Étude de la ligne télé pho nique d’un abonné
Lors qu’un abonné décroche son com biné pour pas ser un appel, une pre mière phase
s’engage (phase 1) pen dant laquelle il com pose au cadran le numéro de son cor res
pon dant puis attend d’être relié à celui ci (en fin de phase 1, le télé phone com mence
à son ner chez le cor res pon dant). Le cor res pon dant, qui n’est jamais absent et dont
la ligne est tou jours libre, décroche au bout d’un cer tain temps après le début de la
son ne rie, puis une conver sa tion s’éta blit (l’ensemble son ne rie et conver sa tion for
mant la phase 2).
La durée aléa toire de la phase 1 (resp. 2) est régie par une loi expo nen tielle de
taux v (resp. m).
Le pro ces sus formé par les ins tants de début d’appel par l’abonné est un pro
ces sus de Pois son de taux l (en neu tra li sant les périodes d’occu pa tion de la ligne
étu diée).
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**5.9 Un autre pro ces sus de nais sance
Pour un cer tain micro organisme, la pro ba bi lité de se sépa rer en deux micro
organismes pen dant l’inter valle de temps [t, t 1 dt] est indé pen dante de t et égale à
l dt 1 o(dt) ; la pro ba bi lité qu’il y ait plus d’une sépa ra tion dans cet inter valle est
négli geable (en o(dt)).
On sup pose qu’il existe un seul micro organisme à l’ins tant ini tial (t 5 0).
Mon trer que la pro ba bi lité p n (t) pour qu’il y ait n micro organismes à l’ins tant
t est :
p n (t) 5 e
2l t # (1 2 e
2l t
)
n21
, (m $ 1).
Géné ra li ser au cas où il y aurait N micro organismes pré sents à t 5 0.
***5.10 Lien entre pro ces sus de Markov et chaîne de Markov
Soit un pro ces sus de Markov fini.
1. Sachant qu’à t 5 0 le pro ces sus est dans l’état E i , mon trer que la pro
ba bi lité pour que – en quit tant l’état E i pour la pre mière fois – le pro ces sus
passe par l’état E j est :
p ij 5 l ij /q i (où q i 5 a
j 2i
l ij )
Véri fier que a
j 2i
p ij 5 1
2. Éva luer la pro ba bi lité d’une « tra jec toire » sui vie entre t 5 t 0 et t 5 t n :
P3X t 0 5 E i 0 , X t 1 5 E i 1 , c , X t n 2 1 5 E i n 2 1 , X t n 5 E i n 4,
où t k est la date d’entrée dans l’état E ik et : t 0 , t 1 , c , t n1 , t n
On se donne p i 0 ( 0) 5 P3X t 0 5 E i 0 4
*5.11 Étude de la ligne télé pho nique d’un abonné
Lors qu’un abonné décroche son com biné pour pas ser un appel, une pre mière phase
s’engage (phase 1) pen dant laquelle il com pose au cadran le numéro de son cor res
pon dant puis attend d’être relié à celui ci (en fin de phase 1, le télé phone com mence
à son ner chez le cor res pon dant). Le cor res pon dant, qui n’est jamais absent et dont
la ligne est tou jours libre, décroche au bout d’un cer tain temps après le début de la
son ne rie, puis une conver sa tion s’éta blit (l’ensemble son ne rie et conver sa tion for
mant la phase 2).
La durée aléa toire de la phase 1 (resp. 2) est régie par une loi expo nen tielle de
taux v (resp. m).
Le pro ces sus formé par les ins tants de début d’appel par l’abonné est un pro
ces sus de Pois son de taux l (en neu tra li sant les périodes d’occu pa tion de la ligne
étu diée).