exercices
223
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
1. Écrire la matrice des pro ba bi li tés de tran si tion M et mon trer que :
M
n 5 B
a n a n21 a n11
a n11 a n a n21
a n21 a n11 a n
R où a n 5
1
3
B 1 1 2 cos
2pn
3
R .
Expli ci ter M
n
selon que n 5 3k, 3k 1 1 ou 3k 1 2.
2. Soit P(0) 5 [l, 0, 0], cal cu ler P(n) selon que n 5 3k ou n 5 3k 1 1 ou
n 5 3k 1 2, où k est un entier posi tif ou nul.
3. Que peut on dire de P(`) lorsque P(0) 5 B
1
3
,
1
3
,
1
3
R ?
***5.7 Valeurs propres des matrices sto chas tiques
Mon trer que :
1. la matrice de l’exer cice 5.2 admet une valeur propre égale à 1 ;
2. la matrice de l’exer cice 5.3, admet deux valeurs propres égales à 1 ;
3. la matrice de l’exer cice 5.5, admet une valeur propre égale à 1 et une
valeur propre égale à –1 ;
4. la matrice de l’exer cice 5.6, admet une valeur propre égale à 1, une
deuxième égale à : j 5
cos 2p
3
1 i sin
2p
3
et une troi sième égale à :
j 5 j
2 5 cos
4p
3
1 i sin
4p
3
(5 j).; qui sont les racines cubiques de 1.
(Rappel : j
3
= 1 et j
3
= 1).
II Pro CEs sus dE Markov
*5.8 Pro ces sus de Pois son
Consi dé rons un pro ces sus de Pois son de taux a.
1. Quelle est la pro ba bi lité que quatre évé ne ments se pro duisent entre
t et 2t ? Entre 3t et 5t ?
2. On rap pelle que p n (t) 5
(at)
n
n!
e
2 lt
pour toute durée d’inter valle t.
En fai sant t :5 Δt, retrou ver la pro ba bi lité d’avoir res pec ti ve ment 0 évé ne
ment, 1 évé ne ment, au moins 2 évé ne ments entre u et u 1 Δt.
3. Soit X t 1 t 2 5 at le nombre moyen d’évé ne ments se pro dui sant sur un
inter valle de durée t et s
2
X t
la variance de ce nombre. Éva luer s
2
X t
.
4. Quelle est la durée moyenne sépa rant deux « nais sances » (évé ne ments)
consé cu tifs ? Éva luer la variance de cette durée.
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
1. Écrire la matrice des pro ba bi li tés de tran si tion M et mon trer que :
M
n 5 B
a n a n21 a n11
a n11 a n a n21
a n21 a n11 a n
R où a n 5
1
3
B 1 1 2 cos
2pn
3
R .
Expli ci ter M
n
selon que n 5 3k, 3k 1 1 ou 3k 1 2.
2. Soit P(0) 5 [l, 0, 0], cal cu ler P(n) selon que n 5 3k ou n 5 3k 1 1 ou
n 5 3k 1 2, où k est un entier posi tif ou nul.
3. Que peut on dire de P(`) lorsque P(0) 5 B
1
3
,
1
3
,
1
3
R ?
***5.7 Valeurs propres des matrices sto chas tiques
Mon trer que :
1. la matrice de l’exer cice 5.2 admet une valeur propre égale à 1 ;
2. la matrice de l’exer cice 5.3, admet deux valeurs propres égales à 1 ;
3. la matrice de l’exer cice 5.5, admet une valeur propre égale à 1 et une
valeur propre égale à –1 ;
4. la matrice de l’exer cice 5.6, admet une valeur propre égale à 1, une
deuxième égale à : j 5
cos 2p
3
1 i sin
2p
3
et une troi sième égale à :
j 5 j
2 5 cos
4p
3
1 i sin
4p
3
(5 j).; qui sont les racines cubiques de 1.
(Rappel : j
3
= 1 et j
3
= 1).
II Pro CEs sus dE Markov
*5.8 Pro ces sus de Pois son
Consi dé rons un pro ces sus de Pois son de taux a.
1. Quelle est la pro ba bi lité que quatre évé ne ments se pro duisent entre
t et 2t ? Entre 3t et 5t ?
2. On rap pelle que p n (t) 5
(at)
n
n!
e
2 lt
pour toute durée d’inter valle t.
En fai sant t :5 Δt, retrou ver la pro ba bi lité d’avoir res pec ti ve ment 0 évé ne
ment, 1 évé ne ment, au moins 2 évé ne ments entre u et u 1 Δt.
3. Soit X t 1 t 2 5 at le nombre moyen d’évé ne ments se pro dui sant sur un
inter valle de durée t et s
2
X t
la variance de ce nombre. Éva luer s
2
X t
.
4. Quelle est la durée moyenne sépa rant deux « nais sances » (évé ne ments)
consé cu tifs ? Éva luer la variance de cette durée.