Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
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Le graphe étant for te ment connexe et fini, le pro ces sus de nais sance et de mort
fermé est for te ment ergodique (quelles que soient les valeurs rela tives des taux de
nais sance et de mort). Rap pe lons qu’alors les pro ba bi li tés des états tendent vers une
limite :
P
* 5 3p
*
0 , p
*
1 , c , p
*
N 4 solution de O = *·A,
indé pen dante de la répar tition ini tiale (d’ailleurs, nous n’avions pré cisé, ici, aucun
état ini tial, ni de dis tri bu tion ini tiale (0)).
Dans le cas d’un pro ces sus ouvert (l i > 0 pour tout i 5 1, 2, c ), le nombre
d’états est infini. On ne peut pas savoir d’emblée si le pro ces sus est for te ment
ergodique ou pas ; nous ferons cepen dant, l’hypo thèse de forte ergodicité et trou
verons, a pos te riori, une condi tion por tant sur les valeurs rela tives des taux de
nais sance et de mort pour que cette hypo thèse soit véri fiée. Repre nons le graphe
sim pli fié :
Soit B n la « coupe » : B n 5 5E 0 , E 1 , c , E n 2 1 6. Plaçons nous en régime per manent
et appli quons le théo rème des coupes à B n , puis à B n21 , c , puis B 1 :
l n21 # p
*
n21 5 m n # p
*
n
l n 2 2 # p
*
n 2 2 5 m n 2 1 # p
*
n 2 1
(
(
l 1 # p
*
1 5 m 2 # p
*
2
l 0 # p
*
0 5 m 1 # p
*
1
l n21 # l n22 # c # l 0 # p
*
0 5 m n # m n21 # c # m 1 # p
*
n
Le pro duit membre à membre de ces n rela tions four nit, après sim pli fi ca tions :
p
*
n 5
l n21 # l n22 # c # l 0
m n # m n21 # c # m 1
# p
*
0 .
On a ainsi pu expri mer la pro ba bi lité de l’état n en régime per manent, soit p
*
n ,
en fonc tion des dif fé rents taux de nais sance et de mort, ainsi que de p
*
0 . Reste à
cal cu ler p
*
0 .
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Le graphe étant for te ment connexe et fini, le pro ces sus de nais sance et de mort
fermé est for te ment ergodique (quelles que soient les valeurs rela tives des taux de
nais sance et de mort). Rap pe lons qu’alors les pro ba bi li tés des états tendent vers une
limite :
P
* 5 3p
*
0 , p
*
1 , c , p
*
N 4 solution de O = *·A,
indé pen dante de la répar tition ini tiale (d’ailleurs, nous n’avions pré cisé, ici, aucun
état ini tial, ni de dis tri bu tion ini tiale (0)).
Dans le cas d’un pro ces sus ouvert (l i > 0 pour tout i 5 1, 2, c ), le nombre
d’états est infini. On ne peut pas savoir d’emblée si le pro ces sus est for te ment
ergodique ou pas ; nous ferons cepen dant, l’hypo thèse de forte ergodicité et trou
verons, a pos te riori, une condi tion por tant sur les valeurs rela tives des taux de
nais sance et de mort pour que cette hypo thèse soit véri fiée. Repre nons le graphe
sim pli fié :
Soit B n la « coupe » : B n 5 5E 0 , E 1 , c , E n 2 1 6. Plaçons nous en régime per manent
et appli quons le théo rème des coupes à B n , puis à B n21 , c , puis B 1 :
l n21 # p
*
n21 5 m n # p
*
n
l n 2 2 # p
*
n 2 2 5 m n 2 1 # p
*
n 2 1
(
(
l 1 # p
*
1 5 m 2 # p
*
2
l 0 # p
*
0 5 m 1 # p
*
1
l n21 # l n22 # c # l 0 # p
*
0 5 m n # m n21 # c # m 1 # p
*
n
Le pro duit membre à membre de ces n rela tions four nit, après sim pli fi ca tions :
p
*
n 5
l n21 # l n22 # c # l 0
m n # m n21 # c # m 1
# p
*
0 .
On a ainsi pu expri mer la pro ba bi lité de l’état n en régime per manent, soit p
*
n ,
en fonc tion des dif fé rents taux de nais sance et de mort, ainsi que de p
*
0 . Reste à
cal cu ler p
*
0 .