5.9 Pro ces sus de Markov par ti cu liers
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vidu (on dit aussi mort, ou départ) entre t et t 1 Dt, lorsque la popu la tion com porte i
indi vi dus est : m i Dt 1 ο(Dt). Il ne se pro duit pas de nais sance.
On a alors affaire à un pro ces sus de Markov dont voici le graphe des tran si tions
entre t et t 1 Dt :
On sup pose que m 0 5 0 et m i > 0 pour i 5 1, 2, c , M.
Le pro ces sus de mort est ergodique ; quand t tend vers l’infini, on a les limites :
p
*
0 5 1 et p
*
1 5 p
*
2 5 c 5 p
*
M 5 0. E 0 est un état absorbant.
5.9.5 Pro ces sus de nais sance et de mort
Nous pas sons main te nant à ce pro ces sus, très employé pour modé li ser notam ment
des phé no mènes d’attente ou encore des sys tèmes sujets à des pannes répa rables. Le
pro ces sus de nais sance et de mort est obtenu en super po sant un pro ces sus de nais ­
sance et un pro ces sus de mort. Ce pro ces sus de Markov X t , où X t repré sente la taille
d’une popu la tion à l’ins tant t, est donné par les pro ba bi li tés de tran si tion entre t et
t 1 dt ci­ dessous :
p i, i11 ( Dt ) 5 l i D t 1 o ( Dt )
: une nais sance entre t et t 1 dt
p i, i21 ( Dt ) 5 m i D t 1 o ( Dt )
: une mort entre t et t 1 dt
p i, i ( Dt ) 5 1 2 ( l i 1 m i ) D t 1 o ( Dt ) : ni nais sance, ni mort entre t et t 1 dt
Voici le géné ra teur infi ni té si mal asso cié, noté A :
A 5 E
2 l 0
l 0
0
0 c
m 1 2 (l 1 1 m 1 )
l 1
0 c
0
m 2
2 (l 2 1 m 2 ) l 2
(
f
f
f
U.
Dans le cas d’un pro ces sus fermé (l N 5 0 ; l i > 0 pour i 5 1, 2, c , Ν 2 1
et m i > 0 pour i 5 1, 2, c , N), on a le graphe sim pli fié :
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