Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
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cherc hons la pro ba bi lité d’occur rence d’un évé ne ment entre t et t 1 dt, sachant
qu’il y a eu un évé ne ment à t 5 0, puis aucun évé ne ment entre 0
1
et t :
P3t , T < t 1 dt k T . t 4 5
P 3t , T < t 1 dt et T . t 4
P 3T . t 4
5
P3t , T < t 1 dt 4
P 3T . t 4
5
m # e
2 mt # dt
e
2 mt
5 m # dt.
Notons la sim pli fi ca tion par e
–mt
qui a une consé quence impor tante :
On trouve m # dt : cette valeur est indé pen dante de t (ce qui est lié à la prop riété
« sans mémoire » du pro ces sus de Markov qu’est le pro ces sus de Pois son de taux m,
consi déré ici). En pra tique, pre nons deux exemples :
• sup po sons d’abord qu’une conver sa tion télé pho nique, se dérou lant dans une
cabine publique, suive une loi expo nen tielle et qu’à l’exté rieur une per sonne attende
que la cabine se libère... Alors, que cette per sonne ait attendu 10 secondes, 5 minutes
ou 1 heure, la pro ba bi lité que la conver sa tion se ter mine dans la seconde qui suit
(dt 5 1 s) est la même ! Tout se passe comme si, à chaque ins tant, la conver sa tion
venait de com men cer...
• Consi dé rons ensuite un équi pe ment de fia bi lité expo nen tielle (c’est àdire que si
T est la date de sa panne, on a P[T > t] 5 e
–mt
). À tout ins tant, tout se passe comme
si l’équi pe ment était neuf. Aussi, pra ti quer un renou vel le ment pré ven tif sur un tel
équi pe ment revien drait... à mettre à la pou belle un équi pe ment neuf !
Ter mi nons par une remarque. Pour la loi expo nen tielle, le carré du coef fi cient de
varia tion : s
2
T / 1 E 1 T 2 2
2
est égal à 1. Pour des lois moins dis per sées que la loi expo
nen tielle, ce coef fi cient est infé rieur à 1 : tel est le cas pour la loi d’Erlangk (déduite
d’un pro ces sus de Pois son de taux km, dans lequel on regroupe les évé ne ments en
groupes de k évé ne ments) dont la den sité de pro ba bi lité est : f (t) 5
(km)
k
t
k21
e
2kmt
(k 2 1)!
;
alors E 1 T 2 5
1
m et s
2
T 5 1/km
2
; le carré du coef fi cient de varia tion vaut donc 1/k :
k étant un entier posi tif, on a donc : s
2
T /(E(T))
2 , 1.
Au contraire, pour des lois plus dis per sées que la loi expo nen tielle, ce coef fi cient
est supé rieur à 1 ; ainsi pour les lois hyper expo nen tielles dont la den sité de pro
ba bi lité est : f (t) 5 a
r
i 51
a i l i e
2 l i t
, où a
r
i 51
a i 5 1 et a i . 0. Alors E(T) = a
p
i 51
a i
l i
et
s
2
T /(E(T))
2 . 1.
5.9.4 Pro ces sus de mort
Soit le pro ces sus sto chas tique X t , où X t s’inter prète comme la taille d’une popu la tion
à l’ins tant t, ini tia le ment non nulle : X 0 5 M. La pro ba bi lité de dis pa ri tion d’un indi
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cherc hons la pro ba bi lité d’occur rence d’un évé ne ment entre t et t 1 dt, sachant
qu’il y a eu un évé ne ment à t 5 0, puis aucun évé ne ment entre 0
1
et t :
P3t , T < t 1 dt k T . t 4 5
P 3t , T < t 1 dt et T . t 4
P 3T . t 4
5
P3t , T < t 1 dt 4
P 3T . t 4
5
m # e
2 mt # dt
e
2 mt
5 m # dt.
Notons la sim pli fi ca tion par e
–mt
qui a une consé quence impor tante :
On trouve m # dt : cette valeur est indé pen dante de t (ce qui est lié à la prop riété
« sans mémoire » du pro ces sus de Markov qu’est le pro ces sus de Pois son de taux m,
consi déré ici). En pra tique, pre nons deux exemples :
• sup po sons d’abord qu’une conver sa tion télé pho nique, se dérou lant dans une
cabine publique, suive une loi expo nen tielle et qu’à l’exté rieur une per sonne attende
que la cabine se libère... Alors, que cette per sonne ait attendu 10 secondes, 5 minutes
ou 1 heure, la pro ba bi lité que la conver sa tion se ter mine dans la seconde qui suit
(dt 5 1 s) est la même ! Tout se passe comme si, à chaque ins tant, la conver sa tion
venait de com men cer...
• Consi dé rons ensuite un équi pe ment de fia bi lité expo nen tielle (c’est àdire que si
T est la date de sa panne, on a P[T > t] 5 e
–mt
). À tout ins tant, tout se passe comme
si l’équi pe ment était neuf. Aussi, pra ti quer un renou vel le ment pré ven tif sur un tel
équi pe ment revien drait... à mettre à la pou belle un équi pe ment neuf !
Ter mi nons par une remarque. Pour la loi expo nen tielle, le carré du coef fi cient de
varia tion : s
2
T / 1 E 1 T 2 2
2
est égal à 1. Pour des lois moins dis per sées que la loi expo
nen tielle, ce coef fi cient est infé rieur à 1 : tel est le cas pour la loi d’Erlangk (déduite
d’un pro ces sus de Pois son de taux km, dans lequel on regroupe les évé ne ments en
groupes de k évé ne ments) dont la den sité de pro ba bi lité est : f (t) 5
(km)
k
t
k21
e
2kmt
(k 2 1)!
;
alors E 1 T 2 5
1
m et s
2
T 5 1/km
2
; le carré du coef fi cient de varia tion vaut donc 1/k :
k étant un entier posi tif, on a donc : s
2
T /(E(T))
2 , 1.
Au contraire, pour des lois plus dis per sées que la loi expo nen tielle, ce coef fi cient
est supé rieur à 1 ; ainsi pour les lois hyper expo nen tielles dont la den sité de pro
ba bi lité est : f (t) 5 a
r
i 51
a i l i e
2 l i t
, où a
r
i 51
a i 5 1 et a i . 0. Alors E(T) = a
p
i 51
a i
l i
et
s
2
T /(E(T))
2 . 1.
5.9.4 Pro ces sus de mort
Soit le pro ces sus sto chas tique X t , où X t s’inter prète comme la taille d’une popu la tion
à l’ins tant t, ini tia le ment non nulle : X 0 5 M. La pro ba bi lité de dis pa ri tion d’un indi