5.9 Pro ces sus de Markov par ti cu liers
211
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Par abus de lan gage, nous dirons que le « nombre moyen » de nais sances sur un
inter valle de temps d’ampli tude t est lt. La variance est :
var X t 5 E 1 X
2
t 2 2 1 E 1 X t 2 2
2 5 a
`
n50
n
2 # p n 1 t 2 2 1 lt 2
2
;
par un cal cul ana logue à celui ci dessus, il vient : var X t 5 lt.
Rap pe lons, en résumé, les prop rié tés impor tantes du pro ces sus de Pois son :
– il est homo gène, ce qui se tra duit par le fait que le taux de nais sance l est indé
pen dant du temps ;
– c’est une loi à « accrois se ments indé pen dants » : les nombres de nais sances X
1
et X
2
sur deux inter valles de temps T
1
et T
2
dis joints, sont des variables aléa
toires indé pen dantes ;
– la pro ba bi lité d’occur rence « simul ta née » (c’est àdire entre t et t 1 Dt) de
plu sieurs évé ne ments (nais sances) est négli geable : elle est en o(Dt) ;
– le pro ces sus n’est pas ergodique : le nombre de nais sances X t tend vers l’infini
quand t tend vers l’infini.
Remarque. Le pro ces sus (ou loi) de Pois son se ren contre fré quem ment en
pra tique : arri vées d’usa gers à un arrêt d’auto bus, à un gui chet de banque ;
occur rence de pannes de com po sants élec tro niques (ou de cer tains moteurs) ;
arri vées d’appels à un stan dard télé pho nique ; arri vées de pro ces sus (requêtes)
dans un sys tème ou réseau infor ma tique.
5.9.3 Loi expo nen tielle
Soit un pro ces sus de Pois son de taux m ; consi dé rons l’inter valle de temps T sépa rant
deux évé ne ments (nais sances) consé cu tifs. En remar quant que T sera supé rieur à t si
et seule ment si aucune nais sance n’a lieu entre 0 et t, il vient :
P3T . t 4 5 PB
0 naissance sur un intervalle
de temps d amplitude t
R 5 p 0 1 t 2 5 e
2 mt
,
la variable aléa toire T est donc régie par une loi expo nen tielle. La den sité de pro ba
bi lité de T, notée f (t), vaut :
f 1 t 2 dt 5 P3t , T < t 1 d t 4 5 d1 P 3T < t 4 2 5 d 1 1 2 e
2 mt
2 5 me
2 mt
d t.
La durée moyenne entre deux nais sances consé cu tives, autre ment dit E(T), est :
E(T) 5 3
`
0
t # f (t) # dt 5 3
`
0
t m e
2 mt
d t 5
1
m .
On peut aussi cal cu ler var T 5 s
2
T . Elle est égale à :
1
m
2
.
Une prop riété impor tante de la loi expo nen tielle est la sui vante :
’
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Par abus de lan gage, nous dirons que le « nombre moyen » de nais sances sur un
inter valle de temps d’ampli tude t est lt. La variance est :
var X t 5 E 1 X
2
t 2 2 1 E 1 X t 2 2
2 5 a
`
n50
n
2 # p n 1 t 2 2 1 lt 2
2
;
par un cal cul ana logue à celui ci dessus, il vient : var X t 5 lt.
Rap pe lons, en résumé, les prop rié tés impor tantes du pro ces sus de Pois son :
– il est homo gène, ce qui se tra duit par le fait que le taux de nais sance l est indé
pen dant du temps ;
– c’est une loi à « accrois se ments indé pen dants » : les nombres de nais sances X
1
et X
2
sur deux inter valles de temps T
1
et T
2
dis joints, sont des variables aléa
toires indé pen dantes ;
– la pro ba bi lité d’occur rence « simul ta née » (c’est àdire entre t et t 1 Dt) de
plu sieurs évé ne ments (nais sances) est négli geable : elle est en o(Dt) ;
– le pro ces sus n’est pas ergodique : le nombre de nais sances X t tend vers l’infini
quand t tend vers l’infini.
Remarque. Le pro ces sus (ou loi) de Pois son se ren contre fré quem ment en
pra tique : arri vées d’usa gers à un arrêt d’auto bus, à un gui chet de banque ;
occur rence de pannes de com po sants élec tro niques (ou de cer tains moteurs) ;
arri vées d’appels à un stan dard télé pho nique ; arri vées de pro ces sus (requêtes)
dans un sys tème ou réseau infor ma tique.
5.9.3 Loi expo nen tielle
Soit un pro ces sus de Pois son de taux m ; consi dé rons l’inter valle de temps T sépa rant
deux évé ne ments (nais sances) consé cu tifs. En remar quant que T sera supé rieur à t si
et seule ment si aucune nais sance n’a lieu entre 0 et t, il vient :
P3T . t 4 5 PB
0 naissance sur un intervalle
de temps d amplitude t
R 5 p 0 1 t 2 5 e
2 mt
,
la variable aléa toire T est donc régie par une loi expo nen tielle. La den sité de pro ba
bi lité de T, notée f (t), vaut :
f 1 t 2 dt 5 P3t , T < t 1 d t 4 5 d1 P 3T < t 4 2 5 d 1 1 2 e
2 mt
2 5 me
2 mt
d t.
La durée moyenne entre deux nais sances consé cu tives, autre ment dit E(T), est :
E(T) 5 3
`
0
t # f (t) # dt 5 3
`
0
t m e
2 mt
d t 5
1
m .
On peut aussi cal cu ler var T 5 s
2
T . Elle est égale à :
1
m
2
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Une prop riété impor tante de la loi expo nen tielle est la sui vante :
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