Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
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Sup po sons qu’à t 5 0, la taille de la popu la tion soit nulle : X 0 5 0 et expri mons les
pro ba bi li tés des états à t 1 Dt en fonc tion de celles­ ci à t, et du taux de nais sance l.
p 0 (t 1 Dt) 5 p 0 (t2 # 1 1 – l D t) 1 ο(Dt)
(5.1)
e p n (t 1 Dt) 5 p n–1 (t2 # l Dt 1 p n (t2 # 1 1 – l D t) 1 ο(Dt) (n 5 1, 2, c ). (5.2)
La rela tion (5.1) entraîne p r 0 1 t 2 5 2l # p 0 1 t 2 , d’où : p 0 1 t 2 5 K # e
2 lt
.
Puisque p 0 (0) 5 1, il vient Κ 5 1 et :
p 0 (t) 5 e
2lt
.
La rela tion (5.2) :
• pour n 5 1 four nit : p r
1 (t) 5 l # p 0 (t) 2 l # p 1 (t), soit p r
1 (t) 1 l # p 1 (t) 5 le
2 lt
,
qui a pour solu tion p 1 (t) 5 lt e
–lt
.
• Pour n 5 2, on obtient alors : p r
2 (t) 1 l # p 2 (t) 5 l
2
e
2 lt
qui a pour solu tion
l
2
t
2
2
# e
2 lt
.
• Pour n 5 3, on trouve : p 3 (t) 5
l
3
t
3
6
e
2 lt
.
• Pour n 5 4, on trouve :
l
4
t
4
24
e
2l t 5
(l t)
4
4!
e
2l t
.
On fait alors l’hypo thèse de récur rence :
p n (t) 5
(lt)
n
n!
e
2lt
et l’on montre que p n11 (t) a la forme ana logue : p n11 (t) 5
(lt)
n11
(n 1 1)!
e
2lt
.
Connais sant, désor mais, les pro ba bi li tés des états d’un pro ces sus de Pois son, on peut
cal cu ler l’espé rance et la variance du nombre de nais sances entre 0 et t (ou entre u et
u 1 t puisque le pro ces sus est homo gène) :
E 1 X t 2 5 a
`
n50
n # p n 1 t 2 5 e
2 lt
a
`
n51
n
1 lt 2
n
n # 1 n 2 12 !
5 e
2 lt # lt a
`
n51
1 lt 2
n21
1 n 2 12 !
5 e
2 lt # lt # e
lt 5 lt.