5.9 Pro ces sus de Markov par ti cu liers
209
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
X t peut être vu comme la taille d’une « popu la tion » (au sens sta tistique du
terme), à l’ins tant t, expri mée en nombres d’« indi vi dus » pré sents. Dans l’état E k ,
k indi vi dus sont pré sents (on confond donc le plus sou vent l’ensemble des états e
avec N). La pro ba bi lité d’appa ri tion (ou « nais sance ») d’un nou vel indi vidu entre
t et t 1 Dt, lorsque la popu la tion com porte i indi vi dus à t, est : l i Dt 1 ο(Dt) ; celle
d’appa ri tion de plu sieurs indi vi dus entre t et t 1 Dt est négli geable (en ο(Dt)).
Notons qu’ici aucune dis pa ri tion (ou « mort ») ne peut se pro duire. Voici le graphe
des tran si tions entre états, entre t et t 1 Dt :
Le pro ces sus est dit « ouvert » si l i est stric te ment posi tif pour toute taille (état) i
de la population. Alors cette taille tend vers l’infini quand t tend vers l’infini : le
pro ces sus n’est pas ergodique. Tou te fois, pour t fini, on peut chercher à cal cu ler les
pro ba bi li tés des états p i (t), sachant qu’ini tia le ment elle est de taille nulle : X 0 5 0.
C’est ce que nous ferons ci dessous pour les pro ces sus de Pois son.
Indi quons que ce cal cul n’est pos sible que si l i ne croît pas « trop vite » avec i ;
on montre que les pro ba bi li tés des états à t (fini) n’existent que si la série a 1/l i
diverge. Intui ti ve ment, puisque 1/l i est le temps moyen de séjour de l’état i, la somme
1/l 0 1 1/l 1 1 c 1 1/l n repré sente l’espé rance du temps passé dans les états 0,
1, c n. Si la série converge, la popu la tion atteint une taille moyenne infi nie en un
temps fini... Ce serait le cas, par exemple, pour l i 5 (i 1 1)
2 # l.
Au contraire, le pro ces sus est dit « fermé » s’il existe une taille N telle que
l N 5 0 (sachant que l i est posi tif pour tout i 5 0, 1, c , N 2 1). La popu la tion
devient « sté rile » dès qu’elle a atteint la taille N. En pra tique, c’est le cas des sys
tèmes à capa cité limi tée à N uni tés : lorsque cette capa cité est atteinte, il n’y a plus
d’arri vée (nais sance). Ainsi si un stan dard télé pho nique est saturé (ses N lignes étant
occu pées) les appels qui arrivent alors sont per dus.
Le pro ces sus fermé est ergodique (mais pas for te ment ergodique) : quand t tend
vers l’infini, on a : p
*
0 5 p
*
1 5 c 5 p
*
N21 5 0 et p
*
N 5 1. L’état N est « absor
bant ».
5.9.2 Pro ces sus de Pois son
Par défi ni tion, un pro ces sus de Pois son est un pro ces sus de nais sance ouvert pour
lequel le taux de nais sance ne dépend pas de la taille de la popu la tion :
l i 5 l pour i 5 0, 1, 2, c
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
X t peut être vu comme la taille d’une « popu la tion » (au sens sta tistique du
terme), à l’ins tant t, expri mée en nombres d’« indi vi dus » pré sents. Dans l’état E k ,
k indi vi dus sont pré sents (on confond donc le plus sou vent l’ensemble des états e
avec N). La pro ba bi lité d’appa ri tion (ou « nais sance ») d’un nou vel indi vidu entre
t et t 1 Dt, lorsque la popu la tion com porte i indi vi dus à t, est : l i Dt 1 ο(Dt) ; celle
d’appa ri tion de plu sieurs indi vi dus entre t et t 1 Dt est négli geable (en ο(Dt)).
Notons qu’ici aucune dis pa ri tion (ou « mort ») ne peut se pro duire. Voici le graphe
des tran si tions entre états, entre t et t 1 Dt :
Le pro ces sus est dit « ouvert » si l i est stric te ment posi tif pour toute taille (état) i
de la population. Alors cette taille tend vers l’infini quand t tend vers l’infini : le
pro ces sus n’est pas ergodique. Tou te fois, pour t fini, on peut chercher à cal cu ler les
pro ba bi li tés des états p i (t), sachant qu’ini tia le ment elle est de taille nulle : X 0 5 0.
C’est ce que nous ferons ci dessous pour les pro ces sus de Pois son.
Indi quons que ce cal cul n’est pos sible que si l i ne croît pas « trop vite » avec i ;
on montre que les pro ba bi li tés des états à t (fini) n’existent que si la série a 1/l i
diverge. Intui ti ve ment, puisque 1/l i est le temps moyen de séjour de l’état i, la somme
1/l 0 1 1/l 1 1 c 1 1/l n repré sente l’espé rance du temps passé dans les états 0,
1, c n. Si la série converge, la popu la tion atteint une taille moyenne infi nie en un
temps fini... Ce serait le cas, par exemple, pour l i 5 (i 1 1)
2 # l.
Au contraire, le pro ces sus est dit « fermé » s’il existe une taille N telle que
l N 5 0 (sachant que l i est posi tif pour tout i 5 0, 1, c , N 2 1). La popu la tion
devient « sté rile » dès qu’elle a atteint la taille N. En pra tique, c’est le cas des sys
tèmes à capa cité limi tée à N uni tés : lorsque cette capa cité est atteinte, il n’y a plus
d’arri vée (nais sance). Ainsi si un stan dard télé pho nique est saturé (ses N lignes étant
occu pées) les appels qui arrivent alors sont per dus.
Le pro ces sus fermé est ergodique (mais pas for te ment ergodique) : quand t tend
vers l’infini, on a : p
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0 5 p
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1 5 c 5 p
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N21 5 0 et p
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N 5 1. L’état N est « absor
bant ».
5.9.2 Pro ces sus de Pois son
Par défi ni tion, un pro ces sus de Pois son est un pro ces sus de nais sance ouvert pour
lequel le taux de nais sance ne dépend pas de la taille de la popu la tion :
l i 5 l pour i 5 0, 1, 2, c