Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
208
On a donc p
*
4 5 p
*
5 d’après (5) : puis (0) et (1) donnent :
m # p
*
4 1 m # p
*
2 5 1 l 1 m 2 # p
*
1
et (2) et (5) donnent :
m # p
*
4 1 m # p
*
1 5 1 l 1 m 2 p
*
2 .
La dif fé rence membre à membre de ces deux rela tions four nit :
m # (p
*
2 2 p
*
1 ) 5 2(l1 m ) # (p
*
2 2 p
*
1 2 , d’où : p
*
1 5 p
*
2 ; (2) s’écrit alors :
m # p
*
5 5 l # p
*
2 et (3) : l # p
*
2 5 m # p
*
3 . D’ où : p
*
3 5 p
*
5 . Fina le ment :
p
*
0 5 p
*
1 5
2l
m
# p
*
0 et p
*
3 5 p
*
4 5 p
*
5 5
2l
2
m
2
# p
*
0 .
Or, p
*
0 1 p
*
1 1 c 1 p
*
5 5 1, soit p
*
0
# a1 1
4l
m
1
6l
2
m
2 b 5 1 et :
p
*
0 5
1
1 1 4l/m 1 6l
2
/m
2
.
La dis po ni bi lité D
*
est : D
* 5 p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2 5
1 1 4l/m
1 1 4l/m 1 6l
2
/m
2 .
On montre que la durée moyenne d d’une période de dis po ni bi lité (c’est àdire de
séjour, en régime per manent, dans le sous ensemble d’états B 5 {E 0 , E 1 , E 2 }) vaut :
d 5
p
*
B
w BSB
5
p
*
0 1 p
*
1 1 p
*
2
w BSB
5
p
*
0 (1 1 4l/m)
l(p
*
1 1 p
*
2 )
5
1 1 4l/m
4l
2
/m
5
4l 1 m
4l
2
5
1
l
1
m
4l
2
.
On véri fie que d est effec ti ve ment supé rieure à 1/l, qui est la durée moyenne de
bon fonc tion ne ment d’une seule machine. Plus les répa ra tions sont rapides, plus m
est grand : par suite plus d est grand.
5.9 Pro ces sus de markov Par ti cu liers
5.9.1 Pro ces sus de nais sance
Uti li sés dès 1940 par Lundberg pour des sta tistiques d’acci dents, puis vers 1943
par Arley à pro pos du rayon ne ment cos mique, ils ont été employés vers 1950 par
Kendall, Bartlett et Feller en bio lo gie. Nous les uti li se rons en recherche opé ra tion
nelle, par exemple pour repré sen ter des arri vées aléa toires de clients dans des files
d’attente ou encore des occur rences de pannes d’équi pe ments.
Par défi ni tion, un pro ces sus de Markov homo gène X t est un pro ces sus de nais -
sance si les pro ba bi li tés de tran si tion entre t et t 1 Dt, ont pour expres sion :
b
p i, i 1 1 1 Dt 2 5 l i # Dt 1 o 1 Dt 2
p i, i 1 Dt 2 5 1 2 l i # Dt 1 o 1 Dt 2
où l i 5 l i, i11 est le « taux de nais sance » à par tir de l’état E i . Les probabilités de
transition de i vers i 1 2, i 1 3, ... , sont négligeables. Celles de i vers i 2 1, i 2 2, ... ,
sont nulles.
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5 d’après (5) : puis (0) et (1) donnent :
m # p
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4 1 m # p
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2 5 1 l 1 m 2 # p
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1
et (2) et (5) donnent :
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4 1 m # p
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1 5 1 l 1 m 2 p
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2 .
La dif fé rence membre à membre de ces deux rela tions four nit :
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1 ) 5 2(l1 m ) # (p
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5 5 l # p
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2 5 m # p
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3 . D’ où : p
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3 5 p
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5 . Fina le ment :
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La dis po ni bi lité D
*
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2 5
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1 1 4l/m 1 6l
2
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2 .
On montre que la durée moyenne d d’une période de dis po ni bi lité (c’est àdire de
séjour, en régime per manent, dans le sous ensemble d’états B 5 {E 0 , E 1 , E 2 }) vaut :
d 5
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B
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5
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0 1 p
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On véri fie que d est effec ti ve ment supé rieure à 1/l, qui est la durée moyenne de
bon fonc tion ne ment d’une seule machine. Plus les répa ra tions sont rapides, plus m
est grand : par suite plus d est grand.
5.9 Pro ces sus de markov Par ti cu liers
5.9.1 Pro ces sus de nais sance
Uti li sés dès 1940 par Lundberg pour des sta tistiques d’acci dents, puis vers 1943
par Arley à pro pos du rayon ne ment cos mique, ils ont été employés vers 1950 par
Kendall, Bartlett et Feller en bio lo gie. Nous les uti li se rons en recherche opé ra tion
nelle, par exemple pour repré sen ter des arri vées aléa toires de clients dans des files
d’attente ou encore des occur rences de pannes d’équi pe ments.
Par défi ni tion, un pro ces sus de Markov homo gène X t est un pro ces sus de nais -
sance si les pro ba bi li tés de tran si tion entre t et t 1 Dt, ont pour expres sion :
b
p i, i 1 1 1 Dt 2 5 l i # Dt 1 o 1 Dt 2
p i, i 1 Dt 2 5 1 2 l i # Dt 1 o 1 Dt 2
où l i 5 l i, i11 est le « taux de nais sance » à par tir de l’état E i . Les probabilités de
transition de i vers i 1 2, i 1 3, ... , sont négligeables. Celles de i vers i 2 1, i 2 2, ... ,
sont nulles.