5.9 Pro ces sus de Markov par ti cu liers
215
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Cas du pro ces sus fermé, on écrit : a
N
n50
p
*
n 5 1, d’où :
p
*
0 5 1 ^ c1 1 a
N
n51
a q
n
k51
l k21
m k
b d .
Ainsi, dans le cas simple : l 0 5 l 1 5 c 5 l N21 5 l et m 1 5 m 2 5 c 5
m N 5 m (que l’on ren contrera plus loin dans les files d’attente) il vient :
p
*
0 5 1 ^ c1 1
l
m
1
l
2
m
2
1 c 1
l
N
m
N
d ; si l ≠ m, on a alors :
p
*
0 5 1
1 2 a
l
m b
N11
1 2
l
m
5
1 2
l
m
1 2 a
l
m b
N11
, et si l 5 m , p
*
0 5
1
N 1 1
.
Cas du pro ces sus ouvert, a
`
n50
p
*
m est une série (somme infi nie de termes) qui
doit conver ger vers 1 (la somme des pro ba bi li tés des états étant égale à 1). Appli
quons le cri tère de conver gence de d’Alembert (qui est une condi tion suf fi sante de
conver gence) : si, à par tir d’un cer tain rang N 0 (c’est àdire pour tout n > N 0 ) le rap
port p
*
n /p
*
n21 est infé rieur ou égal à a , 1, la série est conver gente.
Or
p
*
n
p
*
n21
5
l n21
m n ; la condi tion
l n21
m n
, 1 peut s’inter préter ici comme suit :
à par tir d’une cer taine taille N 0 , le taux de nais sance doit être infé rieur au taux de mort,
pour toute coupe B n ; sinon, on « sent » que la taille de la popu la tion s’accroî trait jus qu’à
l’infini : il ne sau rait exis ter alors un régime per manent. On inter prètera encore mieux
cette condi tion pour les files d’attente (M/M/1 ou M/M/S, par exemple).
Dans le cas simple l 0 5 l 1 5 l 2 5 c 5 l et m 1 5 m 2 5 m 3 5 c 5 m
avec l m, (nous ver rons plus loin que c’est le cas de la file M/M/1) il vient :
p
*
n 5
l
n
m
n
# p
*
0 ; le cal cul de p
*
0 dans le cas ouvert conduit donc à som mer la série géo
mé trique : p
*
0
# c1 1
l
m
1
l
2
m
2 1 c 1
l
n
m
n
1 c d 5 1. Cette série est conver gente
lorsque
l
m , 1 et a pour somme 1 ^a 1 2
l
m b. D’où,
p
*
0 5 1 2
l
m et p
*
n 5 a
l
m b
n
# a1 2
l
m b pour n 5 0, 1, 2, c
215
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Cas du pro ces sus fermé, on écrit : a
N
n50
p
*
n 5 1, d’où :
p
*
0 5 1 ^ c1 1 a
N
n51
a q
n
k51
l k21
m k
b d .
Ainsi, dans le cas simple : l 0 5 l 1 5 c 5 l N21 5 l et m 1 5 m 2 5 c 5
m N 5 m (que l’on ren contrera plus loin dans les files d’attente) il vient :
p
*
0 5 1 ^ c1 1
l
m
1
l
2
m
2
1 c 1
l
N
m
N
d ; si l ≠ m, on a alors :
p
*
0 5 1
1 2 a
l
m b
N11
1 2
l
m
5
1 2
l
m
1 2 a
l
m b
N11
, et si l 5 m , p
*
0 5
1
N 1 1
.
Cas du pro ces sus ouvert, a
`
n50
p
*
m est une série (somme infi nie de termes) qui
doit conver ger vers 1 (la somme des pro ba bi li tés des états étant égale à 1). Appli
quons le cri tère de conver gence de d’Alembert (qui est une condi tion suf fi sante de
conver gence) : si, à par tir d’un cer tain rang N 0 (c’est àdire pour tout n > N 0 ) le rap
port p
*
n /p
*
n21 est infé rieur ou égal à a , 1, la série est conver gente.
Or
p
*
n
p
*
n21
5
l n21
m n ; la condi tion
l n21
m n
, 1 peut s’inter préter ici comme suit :
à par tir d’une cer taine taille N 0 , le taux de nais sance doit être infé rieur au taux de mort,
pour toute coupe B n ; sinon, on « sent » que la taille de la popu la tion s’accroî trait jus qu’à
l’infini : il ne sau rait exis ter alors un régime per manent. On inter prètera encore mieux
cette condi tion pour les files d’attente (M/M/1 ou M/M/S, par exemple).
Dans le cas simple l 0 5 l 1 5 l 2 5 c 5 l et m 1 5 m 2 5 m 3 5 c 5 m
avec l m, (nous ver rons plus loin que c’est le cas de la file M/M/1) il vient :
p
*
n 5
l
n
m
n
# p
*
0 ; le cal cul de p
*
0 dans le cas ouvert conduit donc à som mer la série géo
mé trique : p
*
0
# c1 1
l
m
1
l
2
m
2 1 c 1
l
n
m
n
1 c d 5 1. Cette série est conver gente
lorsque
l
m , 1 et a pour somme 1 ^a 1 2
l
m b. D’où,
p
*
0 5 1 2
l
m et p
*
n 5 a
l
m b
n
# a1 2
l
m b pour n 5 0, 1, 2, c