Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
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5.7 ergodicité
Nous com men ce rons par prendre un exemple : celui de l’ingé nieur dans son bureau.
Nous connais sons les expres sions des pro ba bi li tés de tran si tion entre t et t 1 Dt,
c'est­à­dire sur un inter valle de temps infi ni té si mal Dt ; cal cu lons main te nant ces
pro ba bi li tés pour un inter valle de temps quel conque, d’ampli tude t. Dans l’équa tion
de Chapman­ Kolmogorov fai sons τ 5 Dt et i 5 j 5 0 :
p 00 1 t 1 Dt 2 5 a
k
p 0k 1 t 2 # p k0 1 Dt 2 5 p 00 1 t 2 1 1 2 lDt 2 1 p 01 1 t 2 # mDt 1 o 1 Dt 2 .
D’où :
p 00 (t 1 Dt) 2 p 00 (t)
Dt
5 2 l # p 00 (t) 1 m # p 01 (t) 1
o(Dt)
Dt
.
Par pas sage à la limite pour Dt ten dant vers 0, il vient :
pr 00 1 t 2 5 2 l # p 00 1 t 2 1 m # p 01 1 t 2 ;
Or p 00 (t) 1 p 01 (t) 5 1, d’où :
pr 00 1 t 2 5 2 l # p 00 1 t 2 1 m 1 1 2 p 00 1 t 2 2 , soit : pr 00 (t) 1 (l 1 m) # p 00 (t) 5 m.
Il s’agit d’une équa tion dif fé ren tielle du pre mier ordre, à coef fi cients constants et
avec second membre. Sa solu tion, p 00 (t), sera la somme de l’« inté grale géné rale »
sans second membre, soit K # exp 32 1 l 1 m 2 t 4, et d’une inté grale par ti cu lière avec le
second membre, soit m/ 1 l 1 m 2 . On a donc : p 00 1 t 2 5 K e
2 1l1m2t 1
m
l 1 m
.
Sachant que p 00 (0) 5 1, la constante Κ vaut : K 5 l/ 1 l 1 m 2 .
Fina le ment p 00 1 t 2 5
l
l 1 m
e
2 1l 1 m 2t 1
m
l 1 m
.
On en déduit p 01 1 t 2 5 2
l
l 1 m
e
2 1l 1 m2t 1
l
l 1 m
, car p 01 1 t 2 5 1 2 p 00 1 t 2 .
De même on mon tre rait que :
p 10 (t) 5 2
m
l1 m
e
2 (l1m )t 1
m
l1 m
p 11 (t) 5
m
l1 m
e
2 (l1m )t 1
l
l1 m
, avec p 10 (t) 1 p 11 (t) 5 1.
Matriciellement :
M(t) 5 c
p 00 (t) p 01 (t)
p 10 (t) p 11 (t)
d 5
e
2 (l 1 m)t
l 1 m
c
l 2l
2m m
d 1
1
l 1 m
c
m l
m l
d
Remarque impor tante. Si l’on fait tendre t vers l’infini, les pro ba bi li tés de
tran si tion p 00 (t) et p 10 (t) ont la même limite :
m
l 1 m
(car : e
2` 5 0).