5.6 Pro ba bi li tés des états
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Soit une dis tri bu tion ini tiale des pro ba bi li tés des états : (0) 5 [p 0 (0), p 1 (0), c 4
où p i (0) désigne la pro ba bi lité ini tiale (à t 5 0) de l’état Ε i : p i (0) 5 P[X 0 5 E i ].
La pro ba bi lité de l’état E j à l’ins tant t est : p j (t) 5 P[X t 5 E j ] (elle n’a de sens
que si la dis tri bu tion ini tiale (0) a été spé ci fiée). Par appli ca tion de la « for mule des
pro ba bi li tés totales » (cf p. 189), on a :
p j (t) 5 P3X t 5 E j 4 5 a
E i Pe
P 3X t 5 E j k X 0 5 E i 4 # P 3X 0 5 E i 4,
soit : p j 1 t 2 5 a
i
p i 1 02 # p ij 1 t 2 . En posant P 1 t 2 5 3p 0 1 t 2 , p 1 1 t 2 , c 4 et
M(t)53p ij 1 t 2 4, cette rela tion s’écrit matriciellement : P 1 t 2 5 P 1 02 # M1 t 2 . Plus géné ­
ra le ment, on peut mon trer la rela tion : P 1 t 1  2 5 P 1 t 2 # M1  2 . En effet la rela tion
de Chapman­ Kolmogorov :
p ij 1 t 1  2 5 a
k
p ik 1 t 2 # p kj 1  2
four nit, après mul ti pli cation de chaque membre par p(0), puis en som mant pour tous
les états E i de e :
p j 1 t 1  2 5 a
i
p i 1 02 # p ij 1 t 1  2 5 a i
a
k
p i 1 02 # p ik 1 t 2 # p kj 1  2
5 a
k
a a
i
p i 1 02 # p ik 1 t 2 b # p kj 1  2 5 a k
p k 1 t 2 # p kj 1  2 .
En résumé : p j 1 t 1  2 5 a
k
p k 1 t 2 # p kj 1  2 , qui s’écrit bien matriciellement :
P(t 1  ) 5 P(t) # M( ).
Posons  5 Dt dans la rela tion ci­ dessus et uti li sons les expres sions des pro ba bi ­
li tés p kj (Dt) don nées plus haut :
p j 1 t 1 Dt 2 5 a
k
p k 1 t 2 # p kj 1 Dt 2 5 a
k2j
p k 1 t 2 # l kj # Dt 1 1 1 2 q j Dt 2 # p j 1 t 2 1 o 1 Dt 2
Retran chons p j (t) à chaque membre, puis divi sons cha cun par Dt :
p j (t 1 Dt) 2 p j (t)
Dt
5 a
k2j
p k (t) # l kj 2 q j p jt 1
o(Dt)
Dt
.
Pre nons la limite pour Dt ten dant vers 0 :
p r j (t) 5 a
k2j
p k (t) # l kj 2 q j # p j (t).
Soit, matriciellement, Pr(t) 5 P(t) # A.
Remar quons qu’on aurait pu éta blir direc te ment cette rela tion matriciellement ;
en effet en posant  5 Dt dans la rela tion P(t 1  ) 5 P(t) # M( ) puis
en retran chant P(t)à chaque membre et enfin en divi sant cha cun par Dt:
P(t 1 Dt) 2 P(t)
Dt
5 P(t) # M(Dt) 2 I
Dt
.
Par pas sage à la limite pour Dt ten dant vers 0, il vient : Pr(t) 5 P(t) # A.