5.7 Ergodicité
203
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
De même, p 01 (t) et p 11 (t) ont la même limite :
l
l 1 m
.
Ces limites sont les mêmes quelque soit l’état ini tial : E 0 ou E 1 .
Ce fait a une consé quence impor tante pour les pro ba bi li tés des états : sup po
sons qu’à t 5 0 on ait une répar tition quel conque des pro ba bi li tés des états, soit :
p 0 (0) 5 a et p 1 (0) 5 b, soit (0) 5 [a, b], où a et b sont des réels posi tifs ou nuls,
tels que a 1 b 5 1.
Éva luons les pro ba bi li tés d’états E 0 et E 1 à l’ins tant t :
p 0 (t) 5 a
i
p i (0) # p ij (t) 5 p 0 (0) # p 00 (t) 1 p 1 (0) # p 10 (t) 5 ap 00 (t) 1 bp 10 (t).
D’où : p 0 (t) 5 (a 1 b)
m
l 1 m
1 e
2 (l 1 m )t #
al 2 bm
l 1 m
,
et : p 1 (t) 5 (a 1 b)
l
l1 m
2 e
2 (l1m )t #
al2 bm
l1 m
. On vérifie : p 0 (t) 1 p 1 (t) 5 1.
Pre nons alors les limites de ces pro ba bi li tés d’états quand t tend vers l’infini :
p 0 (t) tend vers p
*
0 5
m
l 1 m
; de même : p
*
1 5
l
l 1 m
(car a 1 b 5 1).
Ainsi, les pro ba bi li tés des états tendent, ici, vers une limite posi tive, indé pen
dante de la dis tri bu tion ini tiale. On dit alors que le pro ces sus de Markov est « for te -
ment ergodique ».
D’une manière géné rale, nous dirons d’un pro ces sus de Markov (homo gène) qu’il
est « for te ment ergodique » si toute pro ba bi lité de tran si tion p ij (t) admet, quand t tend
vers l’infini, une limite posi tive p
*
j , indé pen dante de l’état ini tial Ε i . La matrice M(t)
aura alors pour limite la matrice M
*
dont toutes les lignes sont iden tiques et égales à
3p
*
0 , p
*
1 , p
*
2 , c 4. Ainsi dans notre exemple :
M
* 5 ≥
m
l 1 m
l
l 1 m
m
l 1 m
l
l 1 m
¥
Par consé quent, le vec teur des pro ba bi li tés des états admet une limite P
*
, posi
tive, indé pen dante de la dis tri bu tion ini tiale.
En effet, puisque P(t) 5 P(0) # M(t), par pas sage à la limite, il vient :
P
* 5 P(0) # M
*
.
Exemple. Sans perte de géné ra lité, on peut consi dé rer un pro ces sus de Markov,
for te ment ergodique, avec 3 états : e 5 5E 0 , E 1 , E 2 6 ; pre nons une répar tition ini
tiale quel conque (0) 5 [a, b, c] où a, b, c sont posi tifs ou nuls et a 1 b 1 c 5 1.
Détaillons le pro duit matriciel ci dessus :
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
De même, p 01 (t) et p 11 (t) ont la même limite :
l
l 1 m
.
Ces limites sont les mêmes quelque soit l’état ini tial : E 0 ou E 1 .
Ce fait a une consé quence impor tante pour les pro ba bi li tés des états : sup po
sons qu’à t 5 0 on ait une répar tition quel conque des pro ba bi li tés des états, soit :
p 0 (0) 5 a et p 1 (0) 5 b, soit (0) 5 [a, b], où a et b sont des réels posi tifs ou nuls,
tels que a 1 b 5 1.
Éva luons les pro ba bi li tés d’états E 0 et E 1 à l’ins tant t :
p 0 (t) 5 a
i
p i (0) # p ij (t) 5 p 0 (0) # p 00 (t) 1 p 1 (0) # p 10 (t) 5 ap 00 (t) 1 bp 10 (t).
D’où : p 0 (t) 5 (a 1 b)
m
l 1 m
1 e
2 (l 1 m )t #
al 2 bm
l 1 m
,
et : p 1 (t) 5 (a 1 b)
l
l1 m
2 e
2 (l1m )t #
al2 bm
l1 m
. On vérifie : p 0 (t) 1 p 1 (t) 5 1.
Pre nons alors les limites de ces pro ba bi li tés d’états quand t tend vers l’infini :
p 0 (t) tend vers p
*
0 5
m
l 1 m
; de même : p
*
1 5
l
l 1 m
(car a 1 b 5 1).
Ainsi, les pro ba bi li tés des états tendent, ici, vers une limite posi tive, indé pen
dante de la dis tri bu tion ini tiale. On dit alors que le pro ces sus de Markov est « for te -
ment ergodique ».
D’une manière géné rale, nous dirons d’un pro ces sus de Markov (homo gène) qu’il
est « for te ment ergodique » si toute pro ba bi lité de tran si tion p ij (t) admet, quand t tend
vers l’infini, une limite posi tive p
*
j , indé pen dante de l’état ini tial Ε i . La matrice M(t)
aura alors pour limite la matrice M
*
dont toutes les lignes sont iden tiques et égales à
3p
*
0 , p
*
1 , p
*
2 , c 4. Ainsi dans notre exemple :
M
* 5 ≥
m
l 1 m
l
l 1 m
m
l 1 m
l
l 1 m
¥
Par consé quent, le vec teur des pro ba bi li tés des états admet une limite P
*
, posi
tive, indé pen dante de la dis tri bu tion ini tiale.
En effet, puisque P(t) 5 P(0) # M(t), par pas sage à la limite, il vient :
P
* 5 P(0) # M
*
.
Exemple. Sans perte de géné ra lité, on peut consi dé rer un pro ces sus de Markov,
for te ment ergodique, avec 3 états : e 5 5E 0 , E 1 , E 2 6 ; pre nons une répar tition ini
tiale quel conque (0) 5 [a, b, c] où a, b, c sont posi tifs ou nuls et a 1 b 1 c 5 1.
Détaillons le pro duit matriciel ci dessus :