Exercices
1 Vraioufaux ?
a) x
→ e
x
est l’unique fonction dérivables ur R égaleà
sa dérivée et prenant la valeur 1en0.
b) La somme de deux solutions de l’équation différentielle
y
+ a(t)y = 0e st encore solution de cette équation.
c) Le produit de deux solutions de l’équation différentielle
y
+ a(t)y = 0e st encore solution de cette équation.
d) Toute solution de l’équation différentielle y
+ a(t)y =
b(t)p eut être obtenue àp artir d’une solution particulière en ajoutantu ne solution quelconque de l’équation
y
+ a(t)y = 0.
e) La méthode d’Euler donne la solution exacte d’une équation différentielle linéaire vérifiant une condition initiale.
f) Si l’équation aλ
2
+ bλ + c = 0aun discriminant strictement négatif, l’équation différentielle ay
+ by
+ cy = 0
n’a pas de solutions réelles.
g) L’équation différentielle ay
+ by
+ cy = f (t)aune
unique solution vérifiant la conditioninitiale y(0) = 0.
Équations linéaires
du premierordre
2 Résoudre les équations différentielles suivantes, en
cherchant d’abord une solution évidente :
a) y
+ y = cos x +sin x ;
b) y
− 2xy=sh x − 2x ch x ;
c) y
+ y sin x = sin 2x.
3 Résoudre lesé quations différentielles suivantes sur
des intervalles que l’on précisera. Recoller les solutions aux
points critiques. Discuter l’existence et l’unicité d’une solutionvérifiant une condition initiale du type y(x 0 ) = y 0 .
a) y
cos x + y sin x = cos x + x sin x ;
b) x
2
y
− y = (x
2
− 1)e
x
;
c) xy
−2y=x
3
;
d) xy
+y=Arctan x ;
e) y
cos
2
x − y = e
tan x
.
4 Soit l’équation différentielle :
(x +1)y
+xy=x
2
−x+1
1) Trouver une solution polynomiale.
2) En déduire l’ensemble des solutions sur R.
3) Déterminer la solution vérifiant la condition initiale
y(1) = 1.
5 Résoudre sur ]0, +∞[l ’équation différentielle :
x
2
y
+ y = x
2
(On fera apparaître une intégrale que l’on ne cherchera pas à
calculer.)
Déterminer une solution prolongeable par continuité en 0.
6 Résoudre l’équation différentielle :
x(x − 1)y
− (3x − 1)y + x
2
(x +1)=0
Étudier les raccordements possibles des solutions en 0et1.
Équations linéaires du second ordre
àcoefficients constants
7 Résoudre les équationsd ifférentielles suivantes, avec
les conditions initiales données :
a) y
+9y=x
2
+1
y(0) = 0 y
(0) = 0
b) y
− 3y
+2y=xe
x
y(1) = 0 y
(1) = 0
c) 4y
+4y
+y=e
−
x
2
y(0) = 1 y
(0) = 0
d) y
− 2y
+2y=e
x
sin xy (
π
2
) = 0 y
(
π
2
) = 0
8 Déterminer l’ensemble des fonctions f dérivables
sur R telles que :
∀x ∈ R f
(x) = f (−x)
9 Résoudre l’équation différentielle :
y
− 2ay
+y = e
x
en discutant suivant les valeurs du paramètre réel a.
Exercice posé aux oraux des concours
10 (X 2006)
Déterminer lesfonctions y de C
2
(R)t elles que :
yy
y
y
y
y
y
yy
= 0
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