Solutions
SOLUTIONS
22
En choisissant j = k = l et i = j, on obtient:
∀(i,j)∈[[ 1 , n ]]
2
m ij = 0
En définitive, la matrice M est scalaire : ∃λ ∈ K M = λIn.
Réciproquement, il estc lair qu’une telle matrice commute avec
toute matrice carrée d’ordre n. Le centre de l’anneau Mn(K)est
Vect(In).
11 1) B = (In − A)(In + A)
−1
= (2In − (In + A))(In + A)
−1
(∗)
Ce produitest commutatif.
2) En développant (*), on obtient In + B = 2(In + A)
−1 . (In + B)
est donc inversible. En déduire facilement que :
A = (In − B)(In + B)
−1 (ou(In+B)
− 1 (In−B))
12 a) M =
1 −10
01 − 1
b) M = (1, −5, 4)
c) M =
⎛
⎝
10
0
00
0
00− 1
⎞
⎠
d) M =
⎛
⎝
1 −11− 1
10 00
11 11
⎞
⎠
13 La famille(x,f(x),f
2 (x),··· ,f
n−1 (x)) est libre (cf. exercice
12 du chapitre précédent). Comme elle a n éléments, c’est une
base de E. La matrice de f danscette base est :
M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
00··· ··· 0
10
. . .
. . .
01
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .0
0 ··· 01 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Toutes les matrices carrées d’ordre n nilpotentesd ’indice n sont
donc semblables àcette matrice.
14 Ker f = {(x, y, z) ∈ R
3 , x = y = z} = Vect(e1)
avec e1 = (1, 1, 1).
Im f = {(x, y, z) ∈ R
3 , x + y + z = 0} = Vect(e2, e3)
avec e2 = (2, −1, −1) et e3 = (−1, 2, −1).
On vérifie queKer f ∩Im f = {0} et dimKer f +dim Im f = 3,
ce qui prouve que R
3 = Ker f ⊕Im f . On en déduit que (e1, e2, e3)
est une basedeR
3 .Comme f (e1) = 0, f (e2) = 3e2 et f (e3) = 3e3,
la matricedef dans cette base est :
D =
⎛
⎝
000
030
003
⎞
⎠
On constate que f = h◦ p = p◦ h où h estl ’homothétie vectorielle de rapport 3e tpla projection sur Im p parallèlementà
Ker p.
15 MA =
⎛
⎜
⎜
⎝
ac00
bd00
00ac
00bd
⎞
⎟
⎟
⎠
16 Soit f , f
, f
lesapplications linéaires canoniquement associéesàA,A
,A
.
1) AA
= In =⇒ f ◦ f
= Id R n =⇒ f surjective
=⇒ dim R
n dim R
p
2) A
A = Ip =⇒ f
◦ f = Id R p =⇒ f injective
=⇒ dim R
n dim R
p
Si n
= p, une matrice A ∈M np(K)n epeut être simultanément
inversible àdroite et àgauche. Si n = p, la surjectivité et l’injectivité de f sont équivalentes,etl’on sait quesiApossède une inverse
àdroite et uneinverse àgauche, elles sont égales.
17 Soit f et g les applications linéaires canoniquement associées
à A et B.
AB inversible ⇐⇒ f ◦ g bijective
=⇒ f surjective et g injective.
BA inversible ⇐⇒ g ◦ f bijective
=⇒ f injective et g surjective.
Si AB et BA sont toutes les deux inversibles, f et g sont bijectives,
ce quiimplique n = p, en contradictionavec l’énoncé.
18 Soit ϕP l’application:
Mn(K) →M n ( K )
A
→ P
−1 AP
On montre facilement que :
ϕP (αA + βB) = αϕP (A)+βϕP (B)
ϕP (AB) = ϕP (A)ϕP(B)
ϕP (In) = In
ϕP est doncunendomorphisme d’espace vectoriel et d’anneau. Il
est bijectif et (ϕP)
−1 = ϕ P −1 .
Soit Q un polynôme annulant la matrice A : Q(A) =
n
k=0
a k A
k =
0. Montrer soigneusement que Q(P
−1 AP) = P
−1 Q(A)P = 0.
(C’est un moyen pour reconnaître rapidement que deux matrices
carrées ne sont pas semblables, en trouvant un polynôme qui annule l’une des matrices et pas l’autre.)
19 Chercher une matrice inversible P =
xy
zt
telle que
PA = BP . On aboutit àunsystème de quatre équations àquatre
inconnues, quiadmet des solutions ;par exemple :
P =
−11
11
.
20 Soit u l’endomorphisme de C
n canoniquementassocié à A.
On raisonne par l’absurde :siIn+An’est pasinversible, Id C n +u n’est
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
579
SOLUTIONS
22
En choisissant j = k = l et i = j, on obtient:
∀(i,j)∈[[ 1 , n ]]
2
m ij = 0
En définitive, la matrice M est scalaire : ∃λ ∈ K M = λIn.
Réciproquement, il estc lair qu’une telle matrice commute avec
toute matrice carrée d’ordre n. Le centre de l’anneau Mn(K)est
Vect(In).
11 1) B = (In − A)(In + A)
−1
= (2In − (In + A))(In + A)
−1
(∗)
Ce produitest commutatif.
2) En développant (*), on obtient In + B = 2(In + A)
−1 . (In + B)
est donc inversible. En déduire facilement que :
A = (In − B)(In + B)
−1 (ou(In+B)
− 1 (In−B))
12 a) M =
1 −10
01 − 1
b) M = (1, −5, 4)
c) M =
⎛
⎝
10
0
00
0
00− 1
⎞
⎠
d) M =
⎛
⎝
1 −11− 1
10 00
11 11
⎞
⎠
13 La famille(x,f(x),f
2 (x),··· ,f
n−1 (x)) est libre (cf. exercice
12 du chapitre précédent). Comme elle a n éléments, c’est une
base de E. La matrice de f danscette base est :
M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
00··· ··· 0
10
. . .
. . .
01
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .0
0 ··· 01 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Toutes les matrices carrées d’ordre n nilpotentesd ’indice n sont
donc semblables àcette matrice.
14 Ker f = {(x, y, z) ∈ R
3 , x = y = z} = Vect(e1)
avec e1 = (1, 1, 1).
Im f = {(x, y, z) ∈ R
3 , x + y + z = 0} = Vect(e2, e3)
avec e2 = (2, −1, −1) et e3 = (−1, 2, −1).
On vérifie queKer f ∩Im f = {0} et dimKer f +dim Im f = 3,
ce qui prouve que R
3 = Ker f ⊕Im f . On en déduit que (e1, e2, e3)
est une basedeR
3 .Comme f (e1) = 0, f (e2) = 3e2 et f (e3) = 3e3,
la matricedef dans cette base est :
D =
⎛
⎝
000
030
003
⎞
⎠
On constate que f = h◦ p = p◦ h où h estl ’homothétie vectorielle de rapport 3e tpla projection sur Im p parallèlementà
Ker p.
15 MA =
⎛
⎜
⎜
⎝
ac00
bd00
00ac
00bd
⎞
⎟
⎟
⎠
16 Soit f , f
, f
lesapplications linéaires canoniquement associéesàA,A
,A
.
1) AA
= In =⇒ f ◦ f
= Id R n =⇒ f surjective
=⇒ dim R
n dim R
p
2) A
A = Ip =⇒ f
◦ f = Id R p =⇒ f injective
=⇒ dim R
n dim R
p
Si n
= p, une matrice A ∈M np(K)n epeut être simultanément
inversible àdroite et àgauche. Si n = p, la surjectivité et l’injectivité de f sont équivalentes,etl’on sait quesiApossède une inverse
àdroite et uneinverse àgauche, elles sont égales.
17 Soit f et g les applications linéaires canoniquement associées
à A et B.
AB inversible ⇐⇒ f ◦ g bijective
=⇒ f surjective et g injective.
BA inversible ⇐⇒ g ◦ f bijective
=⇒ f injective et g surjective.
Si AB et BA sont toutes les deux inversibles, f et g sont bijectives,
ce quiimplique n = p, en contradictionavec l’énoncé.
18 Soit ϕP l’application:
Mn(K) →M n ( K )
A
→ P
−1 AP
On montre facilement que :
ϕP (αA + βB) = αϕP (A)+βϕP (B)
ϕP (AB) = ϕP (A)ϕP(B)
ϕP (In) = In
ϕP est doncunendomorphisme d’espace vectoriel et d’anneau. Il
est bijectif et (ϕP)
−1 = ϕ P −1 .
Soit Q un polynôme annulant la matrice A : Q(A) =
n
k=0
a k A
k =
0. Montrer soigneusement que Q(P
−1 AP) = P
−1 Q(A)P = 0.
(C’est un moyen pour reconnaître rapidement que deux matrices
carrées ne sont pas semblables, en trouvant un polynôme qui annule l’une des matrices et pas l’autre.)
19 Chercher une matrice inversible P =
xy
zt
telle que
PA = BP . On aboutit àunsystème de quatre équations àquatre
inconnues, quiadmet des solutions ;par exemple :
P =
−11
11
.
20 Soit u l’endomorphisme de C
n canoniquementassocié à A.
On raisonne par l’absurde :siIn+An’est pasinversible, Id C n +u n’est
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
579