SOLUTIONS
22
Solutions
4) De même, AA
= I ⇐⇒ a = 0 , a
=
1
a
, b
= −
b
a 2 .
L’ensemble des éléments inversibles de E est E\Vect(J ).
3 1) Écrire,comme dans l’exercice précédent, que :
E = Vect(I , J ), avec J =
0 −1
10
et prouver quel’application
C
→
ϕ
E
a + bi → aI + bJ
est un isomorphisme de corps.
2) Calculer ϕ
(cos θ + i sin θ)
n .
4 1) Montrer que E = Vect(I , J , K )etque (I , J , K )est une
famillelibre.
2) Calculer J
2 , K
2 , JK et KJ .
En déduire (aI + bJ + cK )(a
I + b
J + c
K )etmontrer que E est
un sous-anneau de M3(K), qui estdeplus commutatif.
5 a) b) et c) :Conjecturer le résultat, puis vérifier par récurrence.
d) A = −I +2J avec I =
10
01
et J =
11
11
.
Or ∀k ∈ N
∗ J
k = 2
k−1 J
D’où :
∀n ∈ N A
n = (−I +2J)
n =
n
k = 0
n
k
(2J )
k (−I )
n−k
= (−1)
n I +
n
k=1
n
k
2
2k−1 (−1)
n−k J
= (−1)
n I +
1
2
(3
n − (−1)
n )J
A
n =
⎛
⎜
⎜
⎝
3
n +(−1)
n
2
3
n − (−1)
n
2
3
n − (−1)
n
2
3
n +(−1)
n
2
⎞
⎟
⎟
⎠
e) A = −I + J avec ∀k ∈ N
∗ J
k = 3
k−1 J .
D’où :
∀n ∈ N
A
n = (−I + J )
n =
n
k=0
n
k
J
k (−I )
n−k
= (−1)
n I +
1
3
(2
n − (−1)
n )J
d’où l’on tire facilement l’expression détaillée de la matrice A
n .
6 A
3 = 0, d’où :
∀n 3( I 3 + A )
n = I 3 + nA +
n(n − 1)
2
A
2
7 1) A
2 − 3A +2I2 =0
2) Comme I2 = A(−
1
2
A +
3
2
I2), on en déduit que:
A
− 1 =−
1
2
A+
3
2
I2
3) X
n = (X
2 − 3X +2)Q+aX + b . En remplaçant X successivement par 1et2,onobtient : a = 2
n − 1et b=2−2
n .
4) On en déduit :
A
n = (2
n − 1)A +(2−2
n )I2
=
6·2
n −55 (2
n − 1)
− 6(2
n − 1) 6 − 5 · 2
n
8 Si A
p = 0a vec p 1,
(In − A)(In + A + A
2 + ···+A
p−1 ) = In −A
p = In.
On en déduit que In − A est inversible et que:
(In−A)
− 1 =
p − 1
k = 0
A
k
9 Utilisons le symbole de Kronecker :
δij = 1sii=jet 0sii =j.
Posons :
E
np
ij = (mrs)o ù∀ ( r , s ) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] m rs = δri δsj
E
pq
kl = (m
st )o ù∀ ( s , t ) ∈ [[ 1 , p ]] × [[ 1 , q ]] m
st = δ sk δ tl
E
np
ij ×E
pq
kl = (m
rt ) ∈Mnq(K)
∀(r, t) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , q ]]
m
rt =
p
h=1
m rh m
ht =
p
h=1
δri δ hj δ hk δ tl
• Si j
= k, tousl es termes de cette somme sont nuls :
E
np
ij ×E
pq
kl = 0
• Si j = k, m
rt = δriδ tl : E
np
ij ×E
pq
kl = E
nq
il .
En définitive : E
np
ij ×E
pq
kl = δ jk E
nq
il
10 Soit M = (mij)u ne matrice appartenant au centre de
Mn(K). M commuteavec tout élément de Mn(K), en particulier, ∀(k, l) ∈ [[ 1 , n ]]
2
ME kl = E kl M .
Posons :
ME kl = P = (pij),
où
pij =
n
r=1
mir δ rk δ jl = m ik δ jl
et :
E kl M = Q = (qij),
où
qij =
n
r=1
δ ik δ rl mrj = δ ik m lj
P = Q
⇐⇒
∀ ( i , j , k , l ) ∈ [[ 1 , n ]]
4
m ik δ jl = δ ik m lj
En choisissant k = i et l = j, on obtient:
∀(i,j)∈[[ 1 , n ]]
2
m ii = mjj
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Solutions
4) De même, AA
= I ⇐⇒ a = 0 , a
=
1
a
, b
= −
b
a 2 .
L’ensemble des éléments inversibles de E est E\Vect(J ).
3 1) Écrire,comme dans l’exercice précédent, que :
E = Vect(I , J ), avec J =
0 −1
10
et prouver quel’application
C
→
ϕ
E
a + bi → aI + bJ
est un isomorphisme de corps.
2) Calculer ϕ
(cos θ + i sin θ)
n .
4 1) Montrer que E = Vect(I , J , K )etque (I , J , K )est une
famillelibre.
2) Calculer J
2 , K
2 , JK et KJ .
En déduire (aI + bJ + cK )(a
I + b
J + c
K )etmontrer que E est
un sous-anneau de M3(K), qui estdeplus commutatif.
5 a) b) et c) :Conjecturer le résultat, puis vérifier par récurrence.
d) A = −I +2J avec I =
10
01
et J =
11
11
.
Or ∀k ∈ N
∗ J
k = 2
k−1 J
D’où :
∀n ∈ N A
n = (−I +2J)
n =
n
k = 0
n
k
(2J )
k (−I )
n−k
= (−1)
n I +
n
k=1
n
k
2
2k−1 (−1)
n−k J
= (−1)
n I +
1
2
(3
n − (−1)
n )J
A
n =
⎛
⎜
⎜
⎝
3
n +(−1)
n
2
3
n − (−1)
n
2
3
n − (−1)
n
2
3
n +(−1)
n
2
⎞
⎟
⎟
⎠
e) A = −I + J avec ∀k ∈ N
∗ J
k = 3
k−1 J .
D’où :
∀n ∈ N
A
n = (−I + J )
n =
n
k=0
n
k
J
k (−I )
n−k
= (−1)
n I +
1
3
(2
n − (−1)
n )J
d’où l’on tire facilement l’expression détaillée de la matrice A
n .
6 A
3 = 0, d’où :
∀n 3( I 3 + A )
n = I 3 + nA +
n(n − 1)
2
A
2
7 1) A
2 − 3A +2I2 =0
2) Comme I2 = A(−
1
2
A +
3
2
I2), on en déduit que:
A
− 1 =−
1
2
A+
3
2
I2
3) X
n = (X
2 − 3X +2)Q+aX + b . En remplaçant X successivement par 1et2,onobtient : a = 2
n − 1et b=2−2
n .
4) On en déduit :
A
n = (2
n − 1)A +(2−2
n )I2
=
6·2
n −55 (2
n − 1)
− 6(2
n − 1) 6 − 5 · 2
n
8 Si A
p = 0a vec p 1,
(In − A)(In + A + A
2 + ···+A
p−1 ) = In −A
p = In.
On en déduit que In − A est inversible et que:
(In−A)
− 1 =
p − 1
k = 0
A
k
9 Utilisons le symbole de Kronecker :
δij = 1sii=jet 0sii =j.
Posons :
E
np
ij = (mrs)o ù∀ ( r , s ) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] m rs = δri δsj
E
pq
kl = (m
st )o ù∀ ( s , t ) ∈ [[ 1 , p ]] × [[ 1 , q ]] m
st = δ sk δ tl
E
np
ij ×E
pq
kl = (m
rt ) ∈Mnq(K)
∀(r, t) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , q ]]
m
rt =
p
h=1
m rh m
ht =
p
h=1
δri δ hj δ hk δ tl
• Si j
= k, tousl es termes de cette somme sont nuls :
E
np
ij ×E
pq
kl = 0
• Si j = k, m
rt = δriδ tl : E
np
ij ×E
pq
kl = E
nq
il .
En définitive : E
np
ij ×E
pq
kl = δ jk E
nq
il
10 Soit M = (mij)u ne matrice appartenant au centre de
Mn(K). M commuteavec tout élément de Mn(K), en particulier, ∀(k, l) ∈ [[ 1 , n ]]
2
ME kl = E kl M .
Posons :
ME kl = P = (pij),
où
pij =
n
r=1
mir δ rk δ jl = m ik δ jl
et :
E kl M = Q = (qij),
où
qij =
n
r=1
δ ik δ rl mrj = δ ik m lj
P = Q
⇐⇒
∀ ( i , j , k , l ) ∈ [[ 1 , n ]]
4
m ik δ jl = δ ik m lj
En choisissant k = i et l = j, on obtient:
∀(i,j)∈[[ 1 , n ]]
2
m ii = mjj
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