Solutions
SOLUTIONS
20
D’où:
g(h)=(ln 2+
h
2
−
h
2
8
+
h
3
24
+ o(h
3 ))(1 − 2h +3h
2 −4h
3 +o(h
3 ))
= ln 2+(
1
2
−2ln2)h+(3ln2−
9
8
)h
2
+(−4ln2+
43
24
)h
3 + o(h
3 )
Et donc :
f (x) = ln 2+(
1
2
−2ln2)(x − 1) +(3ln2−
9
8
)(x − 1)
2
+(−4ln2+
43
24
)(x − 1)
3 + o((x − 1)
3 )
16 e
x =
100
k=0
x
k
k!
+ o(x
100 )
=
99
k=0
x
k
k!
+
x
100
100!
+ o(x
100 )
D’où :
f (x) − x = f (x) − ln(e
x )
= ln
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
99
k=0
x
k
k!
99
k=0
x
k
k!
+
x
100
100!
+ o(x
100 )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= − ln
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1+
x
100
100!
1
99
k=0
x
k
k!
+ o(x
100 )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= −
x
100
100!
+ o(x
100 )c ar
99
k=0
x
k
k!
∼ 1
Et donc:
f(x)=x−
x
100
100!
+ o(x
100 )
Chapitre 20
1 1. Faux. 2. Faux. 3. Faux. 4. Vrai. 5. Faux. 6. Faux.
7. Vrai. 8. Vrai. 9. Vrai. 10. Faux.
2 Vérifions paru ne récurrence immédiate que la suite est
bien définie et bornéepar 0et1.
• pour n = 0, u0 ∈ [0, 1] ;
• soit n 0t el que um ∈ [0, 1], alors
√ un et
√ 1 − un sont
biendéfinis, positifs, de somme strictement positive, d’où un+1
existe et un+1 ∈ [0, 1].
Soit alors f définie de [0, 1] dans [0, 1] par
x
→ f (x) =
√ x
√ x +
√ 1 − x
.
f est continue, une limite éventuelle de (un)telle que un+1 = f (un)
vérifiedonc f () = .
√
√ +
√ 1 −
= ⇐⇒ = 0ou
√
√ +
√ 1−
=1
⇐⇒ = 0ou1−=
− 2
⇐⇒ = 0ou
∈[0, 1] et 2
2 − 3 +1=0
⇐⇒ ∈{0,
1
2
,1}
De plus f ap our tableau de variations (vérifiez en calculant sa
dérivée) :
x
0
1
2
1
1
f (x)
1
2
0
et le signedef(x)−xest celui de 2x
2 − 3x +1:
x
0
1
2
1
f(x)−x
0+0 −0
Ce qui nous permet de conclure :
• pour u0 ∈{0,
1
2
,1}la suite eststationnaire ;
• pour u0 ∈]0,
1
2
[, la suite estc roisante, majorée par
1
2
,e lle
converge vers
1
2
;
• pour u0 ∈]
1
2
, 1[,l as uite est décroisante, minorée par
1
2
,elle
converge vers
1
2
.
3 La fonction f : x
→
6
x 2 ,est continue, décroissante sur
R
∗
+ ,d’unique point fixe l =
3
√ 6.
Elle apour tableau de variation :
x
0
3
√ 6+ ∞
+ ∞
f ( x )
3
√ 6
0
Nous savons qu’alors f ◦ f est croissante et queles suites extraites
(u2n et u2n+1)sont monotones, de monotonies contraires.
Le signe de f ◦ f (x) − x =
x
4
6
− x est sur R
∗
+ celui de
x
3
6
− 1:
x
| 0
3
√ 6+ ∞
f ◦ f ( x ) − x |− 0+
Ce qui nous permet de conclure :
• pour u0 =
3
√ 6, la suiteest stationnaire ;
• pour u0 ∈]
3
√
6, +∞[, la suite (u2n)e st croissante, strictement
minoréep ar
3
√ 6, elle ne peut converger vers
3
√ 6, qui est la
seulelimite possible pour (un):(un)diverge ;
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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