SOLUTIONS
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Solutions
Quand θ tend vers ±∞, ρ tend vers 1:il yauncercle asymptote
de centre O de rayon 1.
Quand θ tend vers π, ρ(θ)sin(θ − π)t end vers π :i lyau ne
asymptote d’équation Y = π danslerepère
u(π),, v(π)
,c’est-àdire y = −π dans le repère initial.
9 MF × MF
= 1
⇐⇒
( x − 1)
2 + y
2 (x +1)
2 + y
2 = 1
⇐⇒ ( ρ
2 − 2 ρ cos θ +1)(ρ
2 +2ρcos θ +1)=1
⇐⇒ ρ
2 ( ρ
2 − 2cos 2θ) = 0.
La courbe estentièrement décrite parl’équation polaire :
ρ =
√ 2cos 2θ.
Elle est invariante parsymétrie par rapport aux deux axes. Étude
sur
0,
π
4
.
θ 0
π
4
ρ
√ 2+ 0
-1
1
0
y
F
F’
x
10 En orientantladroite Δ dans le sens du vecteur u(θ):
OQ = 2cos θ et OP = −
1
cos θ
.
OM =
1
2
2cos θ −
1
cos θ
=
cos 2θ
2cos θ
.
y
x
θ
Γ
Δ
O
I
Q
M
P
D
C
( )
θ
u
D f = R \
π
2
+ k π
; ρ ( θ + π ) = − ρ ( θ ):période π.
ρ(−θ) = ρ(θ):symétrie par rapport à Ox ;étudesur :
0,
π
2
.
θ 0
π
4
π
2
ρ
1
2
+0−
Quand θ tend vers
π
2
, ρ(θ)sin
θ −
π
2
tend vers
1
2
:asymptote
d’équation Y =
1
2
dans le repère
u
π
2
,, v
π
2
,c’est-à-dire
x = −
1
2
dans le repère initial.
11 1) Si le point M apour coordonnées x = cos θ, y = sin θ
avec θ ∈] − π, π[, t = tan
θ
2
.
Pour M ∈ C\{B}, t estlapente de la droite(BM ).
Le point B n’estp as atteint, mais c’est le point-limite lorsque t
tend vers +∞.
2) Soit M0(
1 − t
2
0
1+t
2
0
,
2t0
1+t
2
0
)e tE( x 1 ,0) un point de (Ox). Déterminons x1 pourque
−−→
M 0 E et
−−→
OM0 soient orthogonaux :
x1 −
1 − t
2
0
1+t
2
0
1−t
2
0
1+t
2
0
−
4t
2
0
(1 + t
2
0 ) 2 = 0
On obtient x1 =
1+t
2
0
1−t
2
0
.
Soit M1(
1 − t
2
1
1+t
2
1
,
2t1
1+t
2
1
). Déterminons t1 pourq ue
−−→
AM1 et
−→
AE
soient colinéaires :
1 − t
2
1
1+t
2
1
1+t
2
0
1−t
2
0
2t1
1+t
2
1
−1
−1
=0
On obtient (enéliminant t1 = 1) : t1 = t
2
0 .
La suitedepoints (Mn)deparamètres (tn)vérifie : tn+1 = t
2
n .
• si t0 ∈] − 1, 1[, la suite (tn)est àpartir du rang 1décroissante
et minoréep ar 0:e lle converge. L’unique point fixe possible
est 0:lasuite (tn)converge vers 0, la suite (Mn)converge vers
B
.
• si t0 ∈] − ∞, −1[∪]1, +∞[, la suite (tn)est croissante et ne peut
converger (aucun point fixe accessible) ;e lle tend vers +∞.L a
suite (Mn)converge vers B.
12 L’arcest défini pour θ = ±
π
6
+2kπ,et2π-périodique.
Pour tout θ ∈ Dρ, ρ(−θ) = −ρ(θ):la courbe est symétrique par
rapport à Oy.Ilsuffit de faire l’étude sur[0,π]\{
π
6
}.
θ 0
π
6
π
ρ 0 −−+0
Il yaune branche infinie pour θ →
π
6
:
lim
θ→
π
6
ρ(θ)sin(θ −
π
6
) = lim
h→0
sin(
π
6
+ h)
√ 3 − 2cos(
π
6
+ h)
sin h
= lim
h→0
cos h +
√ 3sin h
2
√ 3(1 − cos h)+2sin h
sin h =
1
2
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