Solutions
SOLUTIONS
4
2 1) Utilisons le repère (A,
−→
AB,
−→
AC ). Posons :
α =
A B
A C
β =
B C
B A
γ =
C A
C B
,
A
A
C
B
B
C
c’est-à-dire que A
estl eb arycentre de (B, 1), (C, −α), B
est
le barycentre de (C, 1), (A, −β)e tC
est le barycentre de
(A, 1), (B, −γ). On peut en déduirel es coordonnées de A
, B
,
C
, ainsique celles des vecteurs
−−→
A
B
et
−−→
A
C
. On calcule alors le
déterminantdeces deux vecteurs dans la base b = (
−→
AB,
−→
AC ); on
obtient:
Det(
−−→
A
B
,
−−→
A
C
) =
1 − αβγ
(1 − α)(1 − β)(1 − γ)
Les points A
, B
et C
sont donc alignéssietseulement si αβγ = 1.
2) On peut utiliser la même méthode, ou bien se ramener au
résultat précédent:
–Supposons que les droites (AA
), (BB
)et(CC
)concourent en
un point O.
A
B
C
B
A
C
O
Appliquons le théorème de Ménélaüs dans le triangle (ABA
)coupé
par la droite (CC
), puis dans le triangle (AA
C)coupé par la droite
(BB
):
OA
OA
C A
C B
CB
CA = 1
OA
OA
B A
B C
BC
BA = 1
En divisant membre àmembre cesdeux relations, on obtient :
A B
A C
B C
B A
C A
C B
= −1( 1)
–Pour la réciproque, on peut procéder par «fausse position »:on
supposeque A
, B
et C
vérifient la relation (1) et on désigne par
C
le point de (AB)tel queladroite (CC
)concoure avec (AA
)
et (BB
).
Les points A
, B
et C
vérifientaussi la relation (1).
On en déduit que :
C A
C B
=
C A
C B
D’où C
= C
, par unicité du barycentre.
3 Utiliser le barycentre G du système (A, 1), (B, 1), (C, −1).
L’ensemble cherché estlecercle de centre G passantpar A et B.
4 Utiliser le point G, barycentre du système (A, a cos A),
(B, b cos B), (C, c cos C), et montrerque E est un cercle de centre
G. De
−→
BC
2 =
−→
BA ·
−→
BC +
−→
AC ·
−→
BC, on tire :
a
2 = ac cos B + ab cos C,
puis abc = bc
2 cos B + b
2 c cos C. On en déduit que A ∈ E, et de
même B ∈ E et C ∈ E. E est donc le cercle circonscrit à ABC.
5 1) De α
−→
GA + β
−→
GB + γ
−→
GC = 0, on tire :
β Det
−→
GA,
−→
GB
+ γ Det
−→
GA,
−→
GC
= 0
Or, l’aired ut riangle GAB est
1
2
Det(
−→
GA,
−→
GB)
;o ne nd éduit
queles aires des triangles GAB et GCA sont proportionnelles à γ
et β. On généralisepar permutation circulaire.
2) Soit I le centre du cercle inscrit et r le rayon de ce cercle.
r
r
r
B
A
C
I
b
c
a
Les aires des triangles IBC, ICA et IAB sont :
1
2
ra,
1
2
rb,
1
2
rc.
I estdonclebarycentrede(A,a),(B,b),(C,c).Comme
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
,
on peut aussidonner :( A , sin A), (B, sin B), (C, sin C).
3) Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC et R le rayon de ce
cercle.
A
2 A
B
2B
C
2C
Lesa ires des triangles OBC, OCA et OAB sont
1
2
R
2 sin 2A,
1
2
R
2 sin 2B,
1
2
R
2 sin 2C. O estdonclebarycentrede(A,sin 2A),
(B, sin 2B), (C, sin 2C).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
541
SOLUTIONS
4
2 1) Utilisons le repère (A,
−→
AB,
−→
AC ). Posons :
α =
A B
A C
β =
B C
B A
γ =
C A
C B
,
A
A
C
B
B
C
c’est-à-dire que A
estl eb arycentre de (B, 1), (C, −α), B
est
le barycentre de (C, 1), (A, −β)e tC
est le barycentre de
(A, 1), (B, −γ). On peut en déduirel es coordonnées de A
, B
,
C
, ainsique celles des vecteurs
−−→
A
B
et
−−→
A
C
. On calcule alors le
déterminantdeces deux vecteurs dans la base b = (
−→
AB,
−→
AC ); on
obtient:
Det(
−−→
A
B
,
−−→
A
C
) =
1 − αβγ
(1 − α)(1 − β)(1 − γ)
Les points A
, B
et C
sont donc alignéssietseulement si αβγ = 1.
2) On peut utiliser la même méthode, ou bien se ramener au
résultat précédent:
–Supposons que les droites (AA
), (BB
)et(CC
)concourent en
un point O.
A
B
C
B
A
C
O
Appliquons le théorème de Ménélaüs dans le triangle (ABA
)coupé
par la droite (CC
), puis dans le triangle (AA
C)coupé par la droite
(BB
):
OA
OA
C A
C B
CB
CA = 1
OA
OA
B A
B C
BC
BA = 1
En divisant membre àmembre cesdeux relations, on obtient :
A B
A C
B C
B A
C A
C B
= −1( 1)
–Pour la réciproque, on peut procéder par «fausse position »:on
supposeque A
, B
et C
vérifient la relation (1) et on désigne par
C
le point de (AB)tel queladroite (CC
)concoure avec (AA
)
et (BB
).
Les points A
, B
et C
vérifientaussi la relation (1).
On en déduit que :
C A
C B
=
C A
C B
D’où C
= C
, par unicité du barycentre.
3 Utiliser le barycentre G du système (A, 1), (B, 1), (C, −1).
L’ensemble cherché estlecercle de centre G passantpar A et B.
4 Utiliser le point G, barycentre du système (A, a cos A),
(B, b cos B), (C, c cos C), et montrerque E est un cercle de centre
G. De
−→
BC
2 =
−→
BA ·
−→
BC +
−→
AC ·
−→
BC, on tire :
a
2 = ac cos B + ab cos C,
puis abc = bc
2 cos B + b
2 c cos C. On en déduit que A ∈ E, et de
même B ∈ E et C ∈ E. E est donc le cercle circonscrit à ABC.
5 1) De α
−→
GA + β
−→
GB + γ
−→
GC = 0, on tire :
β Det
−→
GA,
−→
GB
+ γ Det
−→
GA,
−→
GC
= 0
Or, l’aired ut riangle GAB est
1
2
Det(
−→
GA,
−→
GB)
;o ne nd éduit
queles aires des triangles GAB et GCA sont proportionnelles à γ
et β. On généralisepar permutation circulaire.
2) Soit I le centre du cercle inscrit et r le rayon de ce cercle.
r
r
r
B
A
C
I
b
c
a
Les aires des triangles IBC, ICA et IAB sont :
1
2
ra,
1
2
rb,
1
2
rc.
I estdonclebarycentrede(A,a),(B,b),(C,c).Comme
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
,
on peut aussidonner :( A , sin A), (B, sin B), (C, sin C).
3) Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC et R le rayon de ce
cercle.
A
2 A
B
2B
C
2C
Lesa ires des triangles OBC, OCA et OAB sont
1
2
R
2 sin 2A,
1
2
R
2 sin 2B,
1
2
R
2 sin 2C. O estdonclebarycentrede(A,sin 2A),
(B, sin 2B), (C, sin 2C).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
541