SOLUTIONS
4
Solutions
6 On se place surl’un des trois intervalles :
I1 =] − ∞, 0[ ; I2 =]0, 1[ ; I3 =]1, +∞[
–Résolution de l’équation sans second membre,
y
=
3x − 1
x(x − 1)
y
3x − 1
x(x − 1)
=
1
x
+
2
x − 1
D’où :
y = Cx(x−1)
2
où C ∈ R
–Solution particulière :
y = x
2 .
–Solution générale surchacun des intervalles I1, I2 et I3 :
y = x
2 + Cx(x−1)
2
où C = C1 sur I1, C = C2 sur I2, C = C3 sur I3.
Étudions lesraccordements possibles de solutions en 0et1:
• En 0, toutes les solutions sur I1 ou I2 vérifient lim
x→0
y(x) = 0.
On peut donc les prolonger par continuité en 0, on obtient des
fonctions continues sur ] − ∞, 1[. Pour que cesprolongements
soient encore solutionsdel’équation différentielle, il faut qu’ils
soient dérivablesen0.Comme les solutions obtenues vérifient
lim
x→0−
y
(x) = C1 et lim
x→0+
y
(x) = C2, on abien la dérivabilité
en 0àcondition de choisir C1 = C2. Toute solution sur I1 se
prolonge donc de façon unique sur I2 et vice versa.
-1
0
1
y
-1
1
x
• En 1, toutes les solutions sur I2 ou I3 vérifient lim
x→1
y(x) = 1.
On peut donc les prolonger par continuité en 1. De plus,
lim
x→1
y
(x) = 2:ces prolongements continus sont dérivables en
1. On obtient des fonctions continues et dérivables sur R ,et
ceci quelles ques oient les constantes C2 et C3. On peut raccorder n’importequelle solution sur ] − ∞, 1[ avecn’importe
quelle solution sur[1,+∞[...
7 a) y =
x
2
9
+
7
81
−
7
81
cos 3x
b) y = −
x
2
2
+ x +
1
2
e
x +
2
e
e
2x
c) y =
x
2
8
+
x
2
+1
e
− x
2
d) y =
−
x
2
+
π
4
e
x cos x
8 Les fonctions cherchées sont solutions de l’équationd ifférentielle y
+ y = 0, donc de la forme y = λ sin x + μ cos x.
Réciproquement, une telle fonction convient si et seulement si
λ = μ. L’ensemble cherché estdonc l’ensemble des fonctions de
la forme f (x) = λ(sin x +cos x) λ ∈ R.
9 1) Si a
2 > 1,
y =
e
x
2(1 − a)
+e
ax
λe
√
a 2 −1x + μe
−
√
a 2 −1x
.
2) Si a
2 < 1,
y =
e
x
2(1 − a)
+e
ax
λ cos(
1 − a 2 x)+μsin(
1 − a 2 x)
.
3) Si a = −1,
y =
1
4
e
x +(λx+μ)e
−x .
4) Si a = 1,
y =
x
2
2
+ λx + μ
e
x .
10 Ce déterminant vaut :
D = −
1
2
(y + y
+ y
)
(y − y
)
2 +(y
−y
)
2 +(y
− y)
2 .
L’équation estéquivalente à:
y+y
+y
= 0o uy = y
= y
Les solutions de y + y
+ y
= 0sont:
y(x)=e
− x / 2
Acos
√ 3
2
x + B sin
√ 3
2
x
;
les solutions de y = y
= y
sont : y(x) = C e
x .
Supposonsq u’il existe deux intervalles ]a, b[e t] b ,c [t elsq ue
y = y
= y
surl ’un et y + y
+ y
= 0s ur l’autre. Alors, par
continuité:y(b)=y
(b)=y
(b) = 0. Il s’agit d’une condition
initiale telle que la seule solution soit la fonction nulle sur ]a, c[
tout entier, et cette solution fait partie des deux familles trouvées.
Les seules solutions sur R sont donc les fonctions de la forme:
y(x)=Ce
x
ou y(x) = e
−x/2
A cos
√ 3
2
x + B sin
√ 3
2
x
Chapitre 4
1 a) Vrai. b) Faux :o np eut avoir aussi r = −OM .
c) Faux :c ’est un cercle. d) Vrai. e) Vrai. f) Faux, si la droite
est parallèle àl’axe Oy. g) Vrai.
540
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Solutions
6 On se place surl’un des trois intervalles :
I1 =] − ∞, 0[ ; I2 =]0, 1[ ; I3 =]1, +∞[
–Résolution de l’équation sans second membre,
y
=
3x − 1
x(x − 1)
y
3x − 1
x(x − 1)
=
1
x
+
2
x − 1
D’où :
y = Cx(x−1)
2
où C ∈ R
–Solution particulière :
y = x
2 .
–Solution générale surchacun des intervalles I1, I2 et I3 :
y = x
2 + Cx(x−1)
2
où C = C1 sur I1, C = C2 sur I2, C = C3 sur I3.
Étudions lesraccordements possibles de solutions en 0et1:
• En 0, toutes les solutions sur I1 ou I2 vérifient lim
x→0
y(x) = 0.
On peut donc les prolonger par continuité en 0, on obtient des
fonctions continues sur ] − ∞, 1[. Pour que cesprolongements
soient encore solutionsdel’équation différentielle, il faut qu’ils
soient dérivablesen0.Comme les solutions obtenues vérifient
lim
x→0−
y
(x) = C1 et lim
x→0+
y
(x) = C2, on abien la dérivabilité
en 0àcondition de choisir C1 = C2. Toute solution sur I1 se
prolonge donc de façon unique sur I2 et vice versa.
-1
0
1
y
-1
1
x
• En 1, toutes les solutions sur I2 ou I3 vérifient lim
x→1
y(x) = 1.
On peut donc les prolonger par continuité en 1. De plus,
lim
x→1
y
(x) = 2:ces prolongements continus sont dérivables en
1. On obtient des fonctions continues et dérivables sur R ,et
ceci quelles ques oient les constantes C2 et C3. On peut raccorder n’importequelle solution sur ] − ∞, 1[ avecn’importe
quelle solution sur[1,+∞[...
7 a) y =
x
2
9
+
7
81
−
7
81
cos 3x
b) y = −
x
2
2
+ x +
1
2
e
x +
2
e
e
2x
c) y =
x
2
8
+
x
2
+1
e
− x
2
d) y =
−
x
2
+
π
4
e
x cos x
8 Les fonctions cherchées sont solutions de l’équationd ifférentielle y
+ y = 0, donc de la forme y = λ sin x + μ cos x.
Réciproquement, une telle fonction convient si et seulement si
λ = μ. L’ensemble cherché estdonc l’ensemble des fonctions de
la forme f (x) = λ(sin x +cos x) λ ∈ R.
9 1) Si a
2 > 1,
y =
e
x
2(1 − a)
+e
ax
λe
√
a 2 −1x + μe
−
√
a 2 −1x
.
2) Si a
2 < 1,
y =
e
x
2(1 − a)
+e
ax
λ cos(
1 − a 2 x)+μsin(
1 − a 2 x)
.
3) Si a = −1,
y =
1
4
e
x +(λx+μ)e
−x .
4) Si a = 1,
y =
x
2
2
+ λx + μ
e
x .
10 Ce déterminant vaut :
D = −
1
2
(y + y
+ y
)
(y − y
)
2 +(y
−y
)
2 +(y
− y)
2 .
L’équation estéquivalente à:
y+y
+y
= 0o uy = y
= y
Les solutions de y + y
+ y
= 0sont:
y(x)=e
− x / 2
Acos
√ 3
2
x + B sin
√ 3
2
x
;
les solutions de y = y
= y
sont : y(x) = C e
x .
Supposonsq u’il existe deux intervalles ]a, b[e t] b ,c [t elsq ue
y = y
= y
surl ’un et y + y
+ y
= 0s ur l’autre. Alors, par
continuité:y(b)=y
(b)=y
(b) = 0. Il s’agit d’une condition
initiale telle que la seule solution soit la fonction nulle sur ]a, c[
tout entier, et cette solution fait partie des deux familles trouvées.
Les seules solutions sur R sont donc les fonctions de la forme:
y(x)=Ce
x
ou y(x) = e
−x/2
A cos
√ 3
2
x + B sin
√ 3
2
x
Chapitre 4
1 a) Vrai. b) Faux :o np eut avoir aussi r = −OM .
c) Faux :c ’est un cercle. d) Vrai. e) Vrai. f) Faux, si la droite
est parallèle àl’axe Oy. g) Vrai.
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