SOLUTIONS
2
Solutions
d) f est continue sur[−1,1], dérivable sur]−1,1[ mais pas en
−1et1.
8 f est définie sur [−1, 1] et : ∀x ∈ [−1, 1] f (x) = x
g est 2π-périodique, paire et ∀x ∈ [0, π] g(x) = x
D’où les courbes :
y
x
x’
y’
1
1
0
–1
–1
x
x’
y
π
−2
π
2
ππ
π
−
O
9 Supposons que Arctan x +Arctan y = ±
π
2
On vérifieque :
tan(Arctan x +Arctan y) =
x + y
1 − xy
D’où :
Arctan x +Arctan y = Arctan
x + y
1 − xy
+ kπ (k ∈ Z)
CommeArctan x +Arctan y ∈ ] − π, π[, l’entier k peut prendre
lesvaleurs −1, 0ou1.
• si Arctan x +Arctan y ∈ ] − π, −
π
2
[, k = −1.
Dans ce cas,
x + y
1 − xy
> 0e tx + y < 0 ,
d’où 1 − xy < 0
• si Arctan x +Arctan y ∈ ] −
π
2
, 0[, k = 0.
Dans ce cas,
x + y
1 − xy
< 0e tx + y < 0 ,
d’où 1 − xy > 0
• si Arctan x +Arctan y ∈ [0,
π
2
[, k = 0.
Dans ce cas,
x + y
1 − xy
0e tx + y 0 ,
d’où 1 − xy > 0
• si Arctan x +Arctan y ∈ ]
π
2
, π[, k = 1.
Dans ce cas,
x + y
1 − xy
< 0e tx + y > 0 ,
d’où 1 − xy < 0
D’autre part, Arctan x +Arctan y = +
π
2
équivaut à
1 − xy = 0etx+y>0
Arctan x +Arctan y = −
π
2
équivaut à
1 − xy = 0etx+y<0
En définitive :
• Si 1 − xy > 0,
Arctan x +Arctan y = Arctan
x + y
1 − xy
• Si 1 − xy = 0etx+y>0,
Arctan x +Arctan y = +
π
2
• Si 1 − xy = 0etx+y<0,
Arctan x +Arctan y = −
π
2
• Si 1 − xy < 0etx+y<0,
Arctan x +Arctan y = Arctan
x + y
1 − xy
− π
• Si 1 − xy < 0etx+y>0,
Arctan x +Arctan y = Arctan
x + y
1 − xy
+ π
10 Ne pasoublier de chercher les ensembles de définition...
cos(Arctan x) =
1
√ x 2 +1
;
sin(Arctan x) =
x
√ x 2 +1
;
tan(2Arctan x) =
2x
1 − x 2 ;
cos(4Arctan x) =
x
4 − 6x
2 +1
(x 2 +1) 2 ;
tan(Arcsin x) =
x
√ 1 − x 2
;
tan(Arccos x) =
√ 1 − x 2
x
;
Arcsin
2x
1+x 2
=
⎧
⎨
⎩
2Arctan x
si |x| 1
π − 2Arctan x
si x 1
−π − 2Arctan x si x −1
.
11 Montrer queles deux réels
π
4
+Arctan
1
239
et 4Arctan
1
5
ont la même tangente et appartiennent à]
π
4
,
π
2
[.
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