Solutions
SOLUTIONS
2
Chapitre 2
1 a) Faux :i lf aut que x ∈ ] −
π
2
,
π
2
[. b) Vrai. c) Vrai
(dériver sur ] − 1, 1[ et prolongere n− 1e t1 . d) Faux :e lle
n’est pasd érivable en −1e t1 . e) Vrai. f) Vrai. g) Vrai.
h) Faux :l ar estriction de ch à R+ est une bijection de R+ dans
[1, +∞[. i) Vrai.
2 a) {1, 4} b) {0, log 2 3}
c)
a,
1
a
d)
2
1
log 3 2−1
e) {log 2
3
3
n+1 − 1
2(2 n+1 − 1)
}.
(Reconnaître des sommes géométriques)
3 log 10 2 =
p
q
⇐⇒ 2 = 10
p
q ⇐⇒ 2
q = 10
p .
Comme p = 0, 10
p est divisible par 5, alors queq ue 2
q ne l’est
pas.
4 On calcule
n
k=0
e
a+kb (s’inspirer du §4.4 du chapitre Nombres
Complexes).
On en déduit :
si b = 0
n
k=0
ch (a + kb) = e
a ch
nb
2
sh
(n+1)b
2
sh
b
2
n
k=0
sh (a + kb) = e
a sh
nb
2
sh
(n+1)b
2
sh
b
2
Ne pas oublier de traiter le cas b = 0...
5 ∀x ∈ [1, +∞[ch(ln(x +
x 2 − 1)) = x
et
sh (ln(x +
x 2 − 1)) =
x 2 − 1
∀x ∈ R ch (ln(x +
√ x 2 +1)) =
√ x 2 +1
et
sh (ln(x +
√ x 2 +1)) = x
6 a) ∀x ∈ R f
(x) =
1
ch 4 x
b) ∀x ∈ R f
(x) =
1 − th 2 x
c) ∀x ∈ R f
(x) =
1
ch x
d) ∀x ∈ R f
(x) =
1
ch 2x
7 Signalons seulement les points délicats :
a) lim
x→0
f
(x) = +∞ :demi-tangente verticale àl’origine.
0
1
y
1
x
π
2
lim
x→1−
f
(x) =
1
2
;l im
x→1+
f
(x) = −
1
2
:point anguleux en (1,
π
2
)
b) lim
x→−1−
f (x) = 1; lim
x→−1+
f (x) = −1:discontinuité en −1.
1
0
1
th 1
y
4
3
21
x
1
lim
x→−1−
f
(x) = 0; lim
x→−1+
f
(x) = 0:demi-tangentes horizontales.
−2
−1
0 α
1
y
−11
2
x
c) Pour trouverlesigne de f
, on étudie les variations de la fonction g :
x
→ 2Arctan x +
x − 1
x 2 +1
0
1
y
x
−11 2
2
p
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