COURS 9
Nombresentiers naturels –Combinatoire
• somme :
n
p=0
n
p
= 2
n
(nombretotal de parties) ;
• relation de Pascal :
n
p
=
n−1
p
+
n−1
p−1
(n 1et1pn−1).
Démonstration
Soit E un ensemble de cardinal n et a un élément fixé de E. Les parties de E
de cardinal p sont :
–les partiesde E\{a} de cardinal p, au nombre de
n−1
p
;
–les partiesde E\{a} de cardinal p − 1a uxquelles on ajoute a, au nombre de
n−1
p−1
.
4.2 • Triangle de Pascal
Blaise Pascal, 1623-1662, philosophe et
mathématicien français, fondateur du
calcul des probabilités.
Les propriétés précédentes permettent de construire, de proche en proche, la table
des coefficientsbinomiaux, appelée triangle de Pascal.
n\ p 01 23
45678910
0
1
1
11
2
12 1
3
13 31
414 64
1
51510 10
51
6
1615 20 15
61
7
1721 35 35 21
71
8
1828 56 70 56
28
81
91936 84 126 126 84 36 91
10 11 04 51 20 210 252 210 120 45 10 1
+ p
n − 1
=
p
n
p − 1
n − 1
( ) ( )
( )
5 Formule du binôme
IMPORTANT
Cette formule sera étendue àdeux éléments a et b d’un anneau, àcondition qu’ils commutent (ab = ba).
Théorème 11
Soit a et b deux réels (ou deux complexes) :
∀n ∈ N (a + b)
n
=
n
p=0
n
p
a
n−p
b
p
Démonstration
Raisonnonspar récurrence sur n :
• pour n = 0, (a + b)
0
= 1;
• soit n ∈ N tel que (a + b)
n
=
n
p=0
n
p
a
n−p
b
p
.
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