Nombresentiersnaturels –Combinatoire
COURS
9
APPLICATION 5
Méthodes de dénombrement
Pour dénombreru ne nsemble fini, il faut parfaitement
identifier ce qu’est un élément de cet ensemble, c’est-àdire connaître les spécificités de cet élément précis pour le
sélectionner. On peut alors :
–s oit compter tous les éléments une fois et une seule, par
exemple en s’aidant d’unarbre de sélection ;
–s oit compter des configurations où chaque élément apparaît pf ois, puis diviser le résultat obtenu par p.
Exemple:Ondispose de six couleurs pour peindre les faces
d’un cube de couleurs différentes.
Combien peut-on réaliser de cubes distincts ?
–1
re
méthode:
Posons le cube horizontalement sur une table. On
peut toujours peindre la face supérieure de la couleur
n
◦
1. Il yaalors 5choix possibles pour la face opposée.
Supposons que l’on choisisse pour celle-ci la couleur
n
◦
2;on peut peindre la face antérieure de la couleur
n
◦
3. Il reste 3! façons de peindre les 3faces restantes.
Il yadonc au total 5×3! = 30 façons de peindre le
cube.
–2
e
méthode :
Il existe 6! bijections de l’ensemble des 6c ouleurs
dans l’ensemble des 6f aces du cube. Mais plusieurs
de ces bijections correspondent au même résultat àun
déplacement près. Combien ya-t-il de façons de placer
un cube peint sur notret able ?O np eut choisir de 6
façons la face supérieure, puis de 4façons la face antérieure, soit 24 positions. Le nombredecubes distincts
est donc :6 ! / 24 = 30.
Pour s’entraîner :ex. 9à13
4 Coefficients binomiaux
Obtention de coefficients binomiaux avec la calculatrice,
àl’aide de la fonction nCr du menu MATH/Probability.
Les nombres
n
p
sont appelés coefficients binomiaux (cf. Formuledubinôme,§5). Ils peuvent être notés également
p
n.
4.1 • Propriétés
Pour tout n ∈ N et tout p ∈ N tel que 0 p n :
•
n
0
= 1( une seule partie vide) ;
•
n
n
= 1( une seule partie de même cardinal que l’ensemble) ;
•
n
1
= n (n singletons) ;
• symétrie :
n
p
=
n
n−p
(le complémentaire d’une partie de cardinal p est
une partie de cardinal n − p);
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
175
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APPLICATION 5
Méthodes de dénombrement
Pour dénombreru ne nsemble fini, il faut parfaitement
identifier ce qu’est un élément de cet ensemble, c’est-àdire connaître les spécificités de cet élément précis pour le
sélectionner. On peut alors :
–s oit compter tous les éléments une fois et une seule, par
exemple en s’aidant d’unarbre de sélection ;
–s oit compter des configurations où chaque élément apparaît pf ois, puis diviser le résultat obtenu par p.
Exemple:Ondispose de six couleurs pour peindre les faces
d’un cube de couleurs différentes.
Combien peut-on réaliser de cubes distincts ?
–1
re
méthode:
Posons le cube horizontalement sur une table. On
peut toujours peindre la face supérieure de la couleur
n
◦
1. Il yaalors 5choix possibles pour la face opposée.
Supposons que l’on choisisse pour celle-ci la couleur
n
◦
2;on peut peindre la face antérieure de la couleur
n
◦
3. Il reste 3! façons de peindre les 3faces restantes.
Il yadonc au total 5×3! = 30 façons de peindre le
cube.
–2
e
méthode :
Il existe 6! bijections de l’ensemble des 6c ouleurs
dans l’ensemble des 6f aces du cube. Mais plusieurs
de ces bijections correspondent au même résultat àun
déplacement près. Combien ya-t-il de façons de placer
un cube peint sur notret able ?O np eut choisir de 6
façons la face supérieure, puis de 4façons la face antérieure, soit 24 positions. Le nombredecubes distincts
est donc :6 ! / 24 = 30.
Pour s’entraîner :ex. 9à13
4 Coefficients binomiaux
Obtention de coefficients binomiaux avec la calculatrice,
àl’aide de la fonction nCr du menu MATH/Probability.
Les nombres
n
p
sont appelés coefficients binomiaux (cf. Formuledubinôme,§5). Ils peuvent être notés également
p
n.
4.1 • Propriétés
Pour tout n ∈ N et tout p ∈ N tel que 0 p n :
•
n
0
= 1( une seule partie vide) ;
•
n
n
= 1( une seule partie de même cardinal que l’ensemble) ;
•
n
1
= n (n singletons) ;
• symétrie :
n
p
=
n
n−p
(le complémentaire d’une partie de cardinal p est
une partie de cardinal n − p);
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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