Exercices
1 Vraioufaux ?
a) L’équation polaire ρ =
1
1 − cos θ
représente une parabole.
b) L’équation cartésienne
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1r eprésente une
ellipse de demi-grandaxe a et de demi-petit axe b.
c) L’ensemble des points dont la somme des distances à
deux points fixesest constante est une ellipse.
d) Les asymptotes et les tangentes aux sommets d’une hyperbole se rencontrent sur le cercle focal.
e) Touteéquation de la forme ax
2
+bxy+cy
2
+dx +ey+f = 0
représente une conique.
2 On observeuncroissant de Lune ;quelle est la nature
de la courbe (appelée terminateur) qui sépare la partie éclairée de la partie sombre ?
La lunaison, durée qui sépare deux nouvelles Lunes consécutives, vaut en moyenne T = 29,5j ours. Déterminer en
fonction de l’« âge » t de la Lune (temps écoulé depuis
la dernière nouvelle Lune, mesuré en jours), la fraction du
disque lunaireéclairée par le soleil.
3 Soit C et C
deux coniques de même directrice D,
de foyers correspondants F et F
distincts, d’excentricités
e et e
distinctes. Démontrer que les points d’intersection
de C et C
, s’il en existe, sont cocycliques.
4 Le plan est rapporté àunrepère orthonormé (O,, i, j).
1) Déterminer l’ensemble des points F , foyer d’une conique de directrice associée (Ox), passantp ar les points
A(−1, 2) et B(1, 1).
2) Préciser, suivant la position de F surc et ensemble, la
nature de cette conique.
5 Déterminer une parabole P connaissant :
1) Le foyer F , le paramètre p et un point A de P.
2) Le foyer F et deux points A et B de P.
3) La directrice D et deux points A et B de P.
6 Soit A et B deux points distincts du plan, I le
milieu de [AB]. Déterminer l’ensemble des points M du
plan tels que : MI
2
= MA MB.
7 Soit A, B, C trois pointsd istincts d’une hyperbole
équilatère H . Démontrer que l’orthocentre du triangle
ABC appartient à H .
8 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques
des courbes d’équation cartésienne :
a) x
2
− 2y
2
+ x − 2y = 0;
b) y
2
+3x−4y =2;
c) x
2
+ xy + y
2
= 1;
d) x
2
+
√
3 xy + x = 2.
9 Déterminer l’ensemble des sommets et des foyers de
l’ellipsed’équation :
λx
2
+ y
2
− 2x = 0o ù λ ∈ R
∗
+
Exercices posés aux oraux des concours
10 (Centrale-Supelec 2006)
On se donne une parabole P de foyer F ,d ed irectrice
D ,etune droite Δ du plan,non perpendiculaire à D .On
note Δ
la perpendiculaire à Δ passant par F , A le point
d’intersection de Δ et Δ
,et B le point d’intersection de
D et Δ
.Onconsidère un point M sur Δ et sonprojeté
orthogonal H sur D .
Montrerq ue M appartientà P si et seulement si
BH
2
= AB
2
− AF
2
.
En déduire l’intersection de P et Δ suivant la position
de Δ .
11 (Mines-Ponts 2006)
Soit P une parabole d’axe Δ et de tangente àl’origine D .
Soit M et N deux points de la parabole, I le milieu
de [MN ], J le projeté orthogonal de I sur Δ et K
l’intersection de la médiatrice de [MN ]a vec Δ .
Montrer que
−→
JK estconstant.
12 (Centrale-Supelec 2006)
Donner l’équationd el an ormale en un point M 0 (x 0 , y 0 )
de la parabole P d’équation y
2
= 2px .
Que dire de l’isobarycentre de 3points de la parabole dont
les normales sont concourantes ?Montrer que l’origine et 3
points de la parabole dont les normales sont concourantes
sont cocycliques.
124
1 Vraioufaux ?
a) L’équation polaire ρ =
1
1 − cos θ
représente une parabole.
b) L’équation cartésienne
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1r eprésente une
ellipse de demi-grandaxe a et de demi-petit axe b.
c) L’ensemble des points dont la somme des distances à
deux points fixesest constante est une ellipse.
d) Les asymptotes et les tangentes aux sommets d’une hyperbole se rencontrent sur le cercle focal.
e) Touteéquation de la forme ax
2
+bxy+cy
2
+dx +ey+f = 0
représente une conique.
2 On observeuncroissant de Lune ;quelle est la nature
de la courbe (appelée terminateur) qui sépare la partie éclairée de la partie sombre ?
La lunaison, durée qui sépare deux nouvelles Lunes consécutives, vaut en moyenne T = 29,5j ours. Déterminer en
fonction de l’« âge » t de la Lune (temps écoulé depuis
la dernière nouvelle Lune, mesuré en jours), la fraction du
disque lunaireéclairée par le soleil.
3 Soit C et C
deux coniques de même directrice D,
de foyers correspondants F et F
distincts, d’excentricités
e et e
distinctes. Démontrer que les points d’intersection
de C et C
, s’il en existe, sont cocycliques.
4 Le plan est rapporté àunrepère orthonormé (O,, i, j).
1) Déterminer l’ensemble des points F , foyer d’une conique de directrice associée (Ox), passantp ar les points
A(−1, 2) et B(1, 1).
2) Préciser, suivant la position de F surc et ensemble, la
nature de cette conique.
5 Déterminer une parabole P connaissant :
1) Le foyer F , le paramètre p et un point A de P.
2) Le foyer F et deux points A et B de P.
3) La directrice D et deux points A et B de P.
6 Soit A et B deux points distincts du plan, I le
milieu de [AB]. Déterminer l’ensemble des points M du
plan tels que : MI
2
= MA MB.
7 Soit A, B, C trois pointsd istincts d’une hyperbole
équilatère H . Démontrer que l’orthocentre du triangle
ABC appartient à H .
8 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques
des courbes d’équation cartésienne :
a) x
2
− 2y
2
+ x − 2y = 0;
b) y
2
+3x−4y =2;
c) x
2
+ xy + y
2
= 1;
d) x
2
+
√
3 xy + x = 2.
9 Déterminer l’ensemble des sommets et des foyers de
l’ellipsed’équation :
λx
2
+ y
2
− 2x = 0o ù λ ∈ R
∗
+
Exercices posés aux oraux des concours
10 (Centrale-Supelec 2006)
On se donne une parabole P de foyer F ,d ed irectrice
D ,etune droite Δ du plan,non perpendiculaire à D .On
note Δ
la perpendiculaire à Δ passant par F , A le point
d’intersection de Δ et Δ
,et B le point d’intersection de
D et Δ
.Onconsidère un point M sur Δ et sonprojeté
orthogonal H sur D .
Montrerq ue M appartientà P si et seulement si
BH
2
= AB
2
− AF
2
.
En déduire l’intersection de P et Δ suivant la position
de Δ .
11 (Mines-Ponts 2006)
Soit P une parabole d’axe Δ et de tangente àl’origine D .
Soit M et N deux points de la parabole, I le milieu
de [MN ], J le projeté orthogonal de I sur Δ et K
l’intersection de la médiatrice de [MN ]a vec Δ .
Montrer que
−→
JK estconstant.
12 (Centrale-Supelec 2006)
Donner l’équationd el an ormale en un point M 0 (x 0 , y 0 )
de la parabole P d’équation y
2
= 2px .
Que dire de l’isobarycentre de 3points de la parabole dont
les normales sont concourantes ?Montrer que l’origine et 3
points de la parabole dont les normales sont concourantes
sont cocycliques.
124