G ¼
E
2 1 þ ν
ð
Þ
ð7:222Þ
K ¼
E
3 1 À 2ν
ð
Þ
ð7:223Þ
Temperature and rate dependence of rubbery modulus (μ M ) is modeled similar to
elastic modulus as follows:
μ M ¼
1
2
μ
g
M þ μ
r
M
À
Á À
1
2
μ
g
M À μ
r
M
À
Á
tanh
θ À θ g þ θ μ
À
Á
Δ μ
þX μ θ À θ g þ θ μ
À
Á
Â
Ã
2
6
4
3
7
5
 1 þ s μ log
ν
ν ref
h
i
ð7:224Þ
X μ ¼
X
g
μ
θ θ g þ θ μ
X
r
μ
θ > θ g þ θ μ
(
ð7:225Þ
Definitions of rubbery shear modulus parameters in Eq. (7.225) are identical to
those for elastic modulus. Temperature dependence of critical value of order parameter (ϕ
à ), limit of polymer chain extensibility (I M ), and saturation value of plastic
flow resistance of molecular network S
Ã
M
À Á
are defined below
ϕ
Ã
¼
1
2
ϕ
Ã
g þ ϕ
Ã
r
À
1
2
ϕ
Ã
g À ϕ
Ã
r
tanh
θ À θ g þ θ ϕ
À
Á
Δ ϕ
þ X ϕ θ À θ g þ θ ϕ
À
Á
Â
Ã
ð7:226Þ
X ϕ ¼
X
g
ϕ
θ θ g þ θ ϕ
X
r
ϕ
θ > θ g þ θ ϕ
(
ð7:227Þ
I M ¼
1
2
I
g
M þ I
r
M
À
Á À
1
2
I
g
M À I
r
M
À
Á
tanh
θ À θ g þ θ M
À
Á
Δ M
þ X M θ À θ g þ θ M
À
Á
Â
Ã
ð7:228Þ
X M ¼
X
g
M
θ θ g þ θ μ
X
r
M
θ > θ g þ θ μ
(
ð7:229Þ
S
Ã
M ¼
1
2
S
g
M þ S
r
M
À
Á À
1
2
S
g
M À S
r
M
À
Á
tanh
θ À θ g þ θ S
À
Á
Δ S
þ X S θ À θ g þ θ S
À
Á
Â
Ã
ð7:230Þ
7.5 Definition of Material Properties
375