Differentiating Eq. (6.284), we have
dε
vp
¼
Δγ
1 À Φ
ð
Þ
2
WNdσ À
Δγ
1 À Φ
WNdβ þ
dΔγ
1 À Φ
Wn
ð6:329Þ
where
W
À1
¼ I þ
Δγm 3
1 À Φ
ð
Þ
2
Nσ
1 À Φ
þ n
σ
ð6:330Þ
Differentiating Eq. (4.285), we have
dα ¼
m 1
1 À Φ
dΔγ À
m 1 m 3
1 À Φ
ð
Þ
2
Δγσdε
vp
ð6:331Þ
Differentiating Eq. (6.286), we have
dβ ¼ À
m 2 m 3 ΔH
1 À Φ
ð
Þ
2
Nσ σ
ð
Þ dε
vp
þ
m 2 ΔH
1 À Φ
Ndσ À m 2 ΔHNdβ þ m 2 nH
0 dα ð6:332Þ
Differentiating Eq. (6.273), we have
1
1 À Φ
ndσ À ndβ À
m 3
1 À Φ
ð
Þ
2
nσ À m 1
2 K
0
Δγ
À
Á σdε
vp
¼ 2μ
τ
Δt
þ
m 1
2 K
0
1 À Φ
dΔγ
ð6:333Þ
From Eqs. (6.327) and (6.329)
p : dσ À q : dβ þ
Wn
1 À Φ
dΔγ ¼ dε
ð6:334Þ
where
p ¼
1
1 À Φ
C
À1
þ
Δγ
1 À Φ
WN
ð6:335Þ
q ¼
Δγ
1 À Φ
WN
ð6:336Þ
From Eqs. (6.329), (6.331), and (6.332), we have
r : dσ À s : dβ þ
m 1 m 2 H
0
1 À Φ
WndΔγ ¼ 0
ð6:337Þ
330
6 Unified Micromechanics of Particulate Composites