P Q
R S
!
Δσ
2 Δβ
(
)
þ
Δ
2
γ
1 À Φ
n
1
m 1 m 2 H
0
(
)
þ
R ε
m 2 H
0 R α n þ R β
(
)
¼ 0 ð6:313Þ
From Eqs. (6.313) and (6.305), we have
Δ
2
γ ¼
ÀR f À m 1 K
0R α À n
0 n
½
ŠA
R ε
m 2 H
0 R α n þ R β
(
)
m 1
2 K
0
1ÀΦ þ 2μ
τ
Δt þ
1
1ÀΦ n
0
n
½
ŠA
n
m 1 m 2 H
0 n
(
)
ð6:314Þ
where
A
2 1
=
P Q
R S
!
ð6:315Þ
A =
e
P e
Q
e
R e S
"
#
ð6:316Þ
~
P = P 2 Q Á S
2 1
Á R
À
Á 2 1
ð6:317Þ
~
Q = 2 P 2 Q Á S
2 1
Á R
À
Á 2 1 Á Q Á S
2 1
À
Á
ð6:318Þ
~
R = 2 S
2 1
Á R
À
Á Á P 2 Q Á S
2 1
Á R
À
Á 2 1
ð6:319Þ
~
S = S
2 1
þ S
2 1
Á R
À
Á Á P 2 Q Á S
2 1
Á R
À
Á 2 1 Á Q Á S
2 1
À
Á
ð6:320Þ
So we have
Δσ
ÀΔβ
(
)
¼ ÀA
Δ
2
γ
1 À Φ
n þ R ε
m 1 Δ
2
γ
1 À Φ
þ R α
m 2 H
0 n þ R β
8
> > <
> > :
9
> > =
> > ;
ð6:321Þ
Δε
vp
¼ À
1
1 À Φ
C
À1
Δσ
ð6:322Þ
Δ
2 s ¼
σΔε
vp
Tρ
ð6:323Þ
Δs nþ1 ¼ Δs n þ Δ
2 s
ð6:324Þ
ΔΦ nþ1 ¼ Àm 3 σ nþ1 Δε
vp
ð
Þ
ð 6:325Þ
328
6 Unified Micromechanics of Particulate Composites