N ¼
À
T À n n
Á
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
σ
1ÀΦ À β 2 σ T
À
Á :
T
σ
1ÀΦ À β À σ T
À
Á
q
ð6:299Þ
We define the following residual functions as follows:
R α ¼ Àα nþ1 þ α n þ
m 1
1 À Φ
Δγ
ð6:300Þ
R γ ¼
2μτΔγ
Δt
À f
h i
ð6:301Þ
R ε ¼ Àε
vp
nþ1 þ ε
vp
n þ
1
1 À Φ
Δγn
ð6:302Þ
R β ¼ Àβ nþ1 þ β n þ m 2 ΔHn
ð6:303Þ
Linearizing these residual functions yields
R α À Δα nþ1 þ
m 1
1 À Φ
Δ
2
γ þ
m 1 m 3
1 À Φ
ð
Þ
3
ΔγσC
2 1
Δσ ¼ 0
ð6:304Þ
n
0
Δσ À nΔβ ¼ R f þ m 1 K
0R α þ
m 1
2 K
0
1 À Φ
þ 2μ
τ
Δt
Δ
2
γ
ð6:305Þ
P : Δσ À Q : Δβ þ
Δ
2
γ
1 À Φ
n þ R ε ¼ 0
ð6:306Þ
R : Δσ À S : Δβ þ
m 1 m 2
1 À Φ
H
0Δ
2 γn þ m 2 H
0 R α n þ R β ¼ 0
ð6:307Þ
where
P ¼
1
1 À Φ
C
À1
þ
Δγ
1 À Φ
N þ
Δγm 3
1 À Φ
ð
Þ
2
Nσ
1 À Φ
þ n
σC
À1
À
Á
"
#
ð6:308Þ
Q ¼
Δγ
1 À Φ
N
ð6:309Þ
R ¼
m 2
1 À Φ
ΔHN þ
m 3
1 À Φ
ð
Þ
2
ΔHNσ þ m 1 H
0
Δγn
ð
Þ σC
2 1
À
Á
"
#
ð6:310Þ
S = I þ m 2 ΔHN
ð6:311Þ
n
0
¼
1
1 À Φ
n þ
m 3
1 À Φ
ð
Þ
2
nσ À m 1
2 K
0
Δγ
À
Á σC
2 1
À
Á
"
#
ð6:312Þ
Combining Eqs. (6.306) and (6.307)
6.7 Micromechanical Constitutive Model of the Particulate Composite
327