β nþ1 ¼ β n þ
T 1 þ 2T 2
À
Á 1:5
T 1 þ 2T 2
À
Á 2 þ 2T 1
2
ΔHn
ð6:286Þ
Let
m 1 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
T 1 þ 2T 2
p
ð6:287Þ
m 2 ¼
T 1 þ 2T 2
À
Á 1:5
T 1 þ 2T 2
À
Á 2 þ 2T 1
2
ð6:288Þ
m 3 ¼ À
Φ cr m s
TρR
exp À
m s
R
Δs
ð6:289Þ
Also we have
∂f
∂σ
¼
1
1 À Φ
n
ð6:290Þ
∂
2 f
∂σ
2
¼
1
1 À Φ
ð
Þ
2
N
ð6:291Þ
∂f
∂β
¼ Àn
ð6:292Þ
∂
2 f
∂β
2
¼ N
ð6:293Þ
∂f
∂D
¼
n : σ
1 À Φ
ð
Þ
2
ð6:294Þ
∂f
∂α
¼ Àm 1 K
0
ð6:295Þ
∂n
∂β
¼ ÀN
ð6:296Þ
∂n
∂σ
¼
1
1 À Φ
N
ð6:297Þ
∂n
∂D
¼
1
1 À Φ
ð
Þ
2
N : σ
ð6:298Þ
where K
0
¼
∂σ y
∂α
is the isotropic hardening modulus.
326
6 Unified Micromechanics of Particulate Composites