jΣ
tr
nþ1 j À
ffiffi ffi
2
3
r
K α n
ð Þ À
2
3
K
0
Δγ À 2μΔγ ¼ 0
ð5:214Þ
which is solved for the consistency parameter Δγ.
5.8.5.2 Linearization of Incremental Solution Process
Consider
_
Σ nþ1 ¼ M : _
Ε nþ1 À 2μΔγ b
N nþ1
ð5:215Þ
Then it follows that
dΣ nþ1
dΕ nþ1
¼ M À 2μ b
N nþ1
dΔγ
dΕ nþ1
þ Δγ
d b
N nþ1
dΕ nþ1
"
#
ð5:216Þ
using
dΔγ
dΕ nþ1
¼
1
b
K
b
N nþ1
ð5:217Þ
and
d b
N nþ1
dΕ nþ1
¼
2μ
jΣ
tr
nþ1 j
H nþ1
ð5:218Þ
where
H nþ1 ¼
b
‘ À
1
3
I I À b n
nþ1
b n
nþ1
0
0
b
‘ À b v
nþ1
b v
nþ1
2
6
4
3
7
5
ð5:219Þ
thus
dΣ nþ1
dΕ nþ1
¼ M À 2μ
b
N nþ1 b
N nþ1
b
K
þ
Δγ2μ
jΣ
tr
nþ1 j
H nþ1
"
#
ð5:220Þ
Expanding Eq. (5.220) yields
268
5 Unified Mechanics of Thermo-mechanical Analysis