5.4 Conjecture II, normes et isogénies
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image H 1
fppf (F, μ) pour toute extension F/k. On décompose E = R k 1 /k (G m )×
. . . R k r /k (G m ), d’où une surjection φ : k
×
1 · · · × k ×
r → RH 1
fppf (F, μ). Si T =
R K/k (G m ) désigne l’un des facteurs, on est ramené à montrer que φ(K × ) ⊂
RC(k).
On se donne une extension finie L/k séparable satisfaisant X(L) = ∅, on
sait alors que C(L) = H 1
fppf (L, μ). En effet, l’application H 1
fppf (L, μ) →
H 1 (F, L) factorise par H 1 (L, T ) = 1 où T désigne un L-tore de
G L ∼ = G
q
L qui est un facteur direct d’un L-tore quasi-trivial. Par suite, on
a RC(L) = RH 1
fppf (L, μ). Le principe de norme [75, II.3.2] indique alors que
Cores L
k
RC(L)) ⊆ RC(k), d’où
(∗)
Cores L
k
RH 1
fppf (L, μ)) ⊆ C(k).
On forme alors le diagramme commutatif
T (L) = (L ⊗ k K) × φ L
N L/K
H 1
fppf (L, μ)
Cores L/K
T (K) = (K ⊗ k K) × φ K
N k /k
H 1
fppf (K, μ)
Cores K/k
T (k) = K ×
φ k
H 1
fppf (k, μ).
Combiné avec l’inclusion (∗) ci-dessus, il vient l’inclusion
φ K
N L/k (T (L))
⊆ RC(k).
Or le composé L L→ L ⊗ k K
N L/k
− −− → K n’est pas autre chose que N L/K ,
donc en considérant toutes les extensions séparables L/K satisfaisant
X(L) = ∅, il vient φ K
N
s´ ep
X (K)
⊂ RC(k). La Remarque 5.3.2 indique que
N
s´ ep
X (K) . K ×l n = K × , ce qui permet de conclure que φ K (K × ) ⊆ RC(k) ⊆
C(k). On a montré que l’application H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) est triviale sur
RH 1
fppf (k, μ).
(2) Comme μ est déployé par une extension métacyclique, on a RH 1
fppf (F, μ) =
H 1
fppf (F, μ) pour tout F/k (Proposition 1.6.2.(2)). Ainsi l’application
H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) est triviale et par suite l’application caractéristique
(G/μ)(k) → H 1
fppf (k, μ) est surjective. La suite exacte d’ensembles pointés
de cohomologie galoisienne (G/μ)(k) → H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) →
H 1 (k, G/μ) montre que l’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G/μ) a un noyau