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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
trivial. Comme ceci vaut pour toute torsion fortement intérieure de G (i.e.
tordue par un cocycle à valeurs dans G(k s )), l’argument de torsion habituel
permet de conclure que l’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G/μ) est injective.
Corollaire 5.4.4 Soit 1 → G → G f
− → T → 1 une suite exacte de k-groupes
réductifs. On suppose que G est semi-simple simplement connexe et que T est un ktore. Pour tout p ∈ S(G), on suppose que scd p (k) ≤ 2. Alors l’image de G (k) →
T (k) contient RT (k).
En particulier, si T est déployé par une extension galoisienne métacyclique, alors
G (k) → T (k) est surjectif et l’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G ) est injective.
Démonstration On note que T = corad(G ) et on forme le diagramme commutatif
exact
1
μ
rad(G )
T
1
1
G
G
T
1.
Ici μ = rad(G ) ∩ G est un k-sous-groupe de type multiplicatif de G central. On a
alors le diagramme commutatif exact
rad(G )(k)
T (k)
H 1
fppf (k, μ)
G(k)
f
T (k)
H 1 (k,G).
La Proposition 5.4.1 montre que le sous-groupe RH 1
fppf (k, μ) de H 1
fppf (k, μ)
s’applique sur 1 dans H 1 (k, G). Comme RT (k) s’applique dans RH 1
fppf (k, μ), le
diagramme montre que l’image de G(k) → T (k) contient RT (k).
En tenant compte de la Proposition 1.6.2.(2), alors si T est déployé par une
extension galoisienne sans facteurs carrés, on a RT (k) = T (k) et G (k) → T (k)
est surjectif. L’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G ) a donc un noyau trivial et
l’argument habituel de torsion permet de conclure que H 1 (k, G) → H 1 (k, G )
est injective.
5.5 Classes provenant de sous-groupes diagonalisables
Proposition 5.5.1 Soit G un k-groupe absolument presque k-simple et simplement
connexe. Soit i : μ n → G un plongement d’un k-groupe diagonalisable fini μ n .
On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S t (G) divisant n et que n = 2 si G
est de type G 2 . Alors l’application i ∗ : RH 1
fppf (k, μ n ) = k × /k ×n → H 1 (k, G) est
triviale.