5.5 Classes provenant de sous-groupes diagonalisables
85
Démonstration On sait que μ n est toral de centralisateur connexe G (Th. 3.1.5).
De plus, on a S(G ) ⊂ S t (G ) ⊂ S t (G) (lemme 5.1.1). La Proposition 3.1.15
montre que le k-groupe quasi-déployé G admet un k-tore quasi-trivial, ainsi la
condition (QD) de la Proposition 5.4.1 est satisfaite. Cette proposition montre que
l’application H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G ) est triviale sur RH 1
fppf (k, μ), ce qui entraîne
le résultat souhaité.
Corollaire 5.5.2 Soit G un k-groupe absolument presque k-simple et simplement
connexe non de type G 2 . On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S t (G). Soit
i : T → G un k-tore.
(1) Si G n’est pas de type G 2 , l’application i ∗ : H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est
triviale sur le sous-groupe R 1 H 1 (k, T ). En particulier, si T est déployé par une
extension cyclique de degré premier, l’application i ∗ : H 1 (k, T ) → H 1 (k, G)
est triviale.
(2) Si G est de type G 2 , et si T est déployé par une extension quadratique, alors
l’application i ∗ : H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est triviale.
Démonstration
(1) Soit γ ∈ R 1 H 1 (k, T ). Le Lemme 1.6.5.(1) montre qu’il existe un entier n ≥ 1
et un k-plongement f : μ n → T tel que γ ∈ Im(f ∗ ). Ainsi on a un plongement
f ◦ i : μ n → G tel que i ∗ (γ ) ∈ Im((i ◦ f ) ∗ ). La proposition précédente
s’applique et montre que i ∗ (γ ) = 0.
Le dernier point est la conséquence du fait R 1 H 1 (k, T ) = H 1 (k, T ) lorsque T
est déployé par une extension cyclique de degré premier (Lemme 1.6.5.(2)).
Le (2) se fait de façon analogue.
Ceci s’applique notamment à l’étude des classes trivialisées par une extension
quadratique.
Corollaire 5.5.3 Soit G un k-groupe absolument presque k-simple et simplement
connexe. On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit L/k une extension étale quadratique de
corps déployant le groupe G. Alors H 1 (L/k, G) = 1.
Démonstration Il est loisible de supposer k infini. On note σ un générateur de
G al(L/k). Soit γ = [z] un élément de H 1 (L/k, G). Par hypothèse, le k-groupe
tordu z G admet un L-sous-groupe de Borel B. On considère l’intersection B ∩σ (B)
dans ( z G) L , elle définit un k-sous-groupe H de z G. Pour un choix général de B, H
est un k-tore maximal de ( z G) et H L est un L-tore maximal de B. En particulier,
l’extension quadratique L/k déploie le tore H . Le théorème de Steinberg 5.2.3
indique qu’il existe un un k-plongement i : T → G déployé par L/k tel que
[γ ] ∈ Im(i ∗ ). Un tel k-tore est isomorphe à un produit de G m , R L/k (G m ) et
R 1
L/k (G m ). Par additivité, on est ramené au cas d’un k-plongement i : R 1
k /k (G m ) →
G. On a un plongement de μ 2
∼
−→ R 1
L/k (μ 2 ) dans R 1
L/k (G m ) et l’application
H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1
k, R 1
L/k (G m )
est surjective de sorte que γ appartient à l’image
de H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1 (k, G). La Proposition 5.5.1 permet de conclure que γ = 1.
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Démonstration On sait que μ n est toral de centralisateur connexe G (Th. 3.1.5).
De plus, on a S(G ) ⊂ S t (G ) ⊂ S t (G) (lemme 5.1.1). La Proposition 3.1.15
montre que le k-groupe quasi-déployé G admet un k-tore quasi-trivial, ainsi la
condition (QD) de la Proposition 5.4.1 est satisfaite. Cette proposition montre que
l’application H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G ) est triviale sur RH 1
fppf (k, μ), ce qui entraîne
le résultat souhaité.
Corollaire 5.5.2 Soit G un k-groupe absolument presque k-simple et simplement
connexe non de type G 2 . On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S t (G). Soit
i : T → G un k-tore.
(1) Si G n’est pas de type G 2 , l’application i ∗ : H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est
triviale sur le sous-groupe R 1 H 1 (k, T ). En particulier, si T est déployé par une
extension cyclique de degré premier, l’application i ∗ : H 1 (k, T ) → H 1 (k, G)
est triviale.
(2) Si G est de type G 2 , et si T est déployé par une extension quadratique, alors
l’application i ∗ : H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est triviale.
Démonstration
(1) Soit γ ∈ R 1 H 1 (k, T ). Le Lemme 1.6.5.(1) montre qu’il existe un entier n ≥ 1
et un k-plongement f : μ n → T tel que γ ∈ Im(f ∗ ). Ainsi on a un plongement
f ◦ i : μ n → G tel que i ∗ (γ ) ∈ Im((i ◦ f ) ∗ ). La proposition précédente
s’applique et montre que i ∗ (γ ) = 0.
Le dernier point est la conséquence du fait R 1 H 1 (k, T ) = H 1 (k, T ) lorsque T
est déployé par une extension cyclique de degré premier (Lemme 1.6.5.(2)).
Le (2) se fait de façon analogue.
Ceci s’applique notamment à l’étude des classes trivialisées par une extension
quadratique.
Corollaire 5.5.3 Soit G un k-groupe absolument presque k-simple et simplement
connexe. On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit L/k une extension étale quadratique de
corps déployant le groupe G. Alors H 1 (L/k, G) = 1.
Démonstration Il est loisible de supposer k infini. On note σ un générateur de
G al(L/k). Soit γ = [z] un élément de H 1 (L/k, G). Par hypothèse, le k-groupe
tordu z G admet un L-sous-groupe de Borel B. On considère l’intersection B ∩σ (B)
dans ( z G) L , elle définit un k-sous-groupe H de z G. Pour un choix général de B, H
est un k-tore maximal de ( z G) et H L est un L-tore maximal de B. En particulier,
l’extension quadratique L/k déploie le tore H . Le théorème de Steinberg 5.2.3
indique qu’il existe un un k-plongement i : T → G déployé par L/k tel que
[γ ] ∈ Im(i ∗ ). Un tel k-tore est isomorphe à un produit de G m , R L/k (G m ) et
R 1
L/k (G m ). Par additivité, on est ramené au cas d’un k-plongement i : R 1
k /k (G m ) →
G. On a un plongement de μ 2
∼
−→ R 1
L/k (μ 2 ) dans R 1
L/k (G m ) et l’application
H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1
k, R 1
L/k (G m )
est surjective de sorte que γ appartient à l’image
de H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1 (k, G). La Proposition 5.5.1 permet de conclure que γ = 1.