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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
5.6 Application à la descente quadratique
On reprend ici le contexte du §3.2.4 et on formule la variante suivante du
Corollaire 5.5.3.
Proposition 5.6.1 On suppose que k est infini et satisfait scd 2 (k) ≤ 2. Soient L/k
une extension quadratique séparable de corps et σ : L → L la conjugaison. Soit
G/k un groupe semi-simple simplement connexe muni d’un k-sous-groupe M de
rang semi-simple rang(G) − 1 et tel que M L = P ∩ σ (P ) où P est un L-sousgroupe parabolique de G L dont la classe de conjugaison est auto-opposée.
(1) On suppose que:
(a) H 1 (k, z DM) = 1 pour tout z ∈ Z 1 (L/k, M).
(b) M admet un sous-groupe μ 2 r tel que μ 2 r ∩ DM = μ 2 r .
Alors H 1 (L/k, G) = 1.
(2) On suppose que:
(c) H 1 (L/k, DM ) = 1;
(d) M admet un sous-groupe central μ 2 r tel que μ 2 r ∩ DM = μ 2 r .
Alors H 1 (L/k, G) = 1.
Démonstration
(1) On rappelle que l’application H 1 (L/k, M) → H 1 (L/k, G) est surjective
(Lemme 3.2.8). L’hypothèse (b) montre que l’on a un diagramme commutatif
exact
1
μ 2 r−1
μ 2 r
i
μ 2
1
1
DM
M
R 1
L/k (G m )
1.
Comme les applications H 1
fppf (k, μ 2 r → H 1
fppf (k, μ 2 ) et H 1
fppf (k, μ 2 ) →
H 1 (k, R 1
L/k (G m )) = k × /N L/k (L × ) sont surjectives, il suit que H 1
fppf (k, μ 2 r ) →
H 1 (k, R 1
L/k (G m )) est surjective. Par ailleurs, le composé H 1
fppf (k, μ 2 r ) →
H 1 (k, M) → H 1 (k, G) est trivial par application de la Proposition 5.4.1 ce qui
entraîne la surjectivité de l’application
ker
H
1 (k, M) → H
1 (k, G)
→ H
1 (k, R
1
L/k (G m )).