5.6 Application à la descente quadratique
87
Etant donné γ ∈ H 1 (L/k, M), il existe donc [z] ∈ ker
H 1 (k, M) →
H 1 (k, G)
ayant même image que γ dans H 1 (k, R 1
L/k (G m )). Par suite on a
τ
−1
z (γ ) ∈ Im
H
1 (k, z DM) → H
1 (k, z M)
.
L’hypothèse (a) indique que τ −1
z (γ ) = 1 dans H 1 (k, z M), donc a fortiori dans
H 1 (k, z G). Vu que [z] = 1 dans H 1 (k, G) (Corollaire 5.5.2), la compatibilité
des bijections de torsions permet de conclure que l’image de γ dans H 1 (k, G)
est triviale, ce qui achève la démonstration.
(2) On va raffiner la démonstration précédente en supposant de plus μ 2 r central
dans M. On dispose alors du produit H 1
fppf (k, μ 2 r ) × H 1 (k, DM) → H 1 (k, M)
que l’on écrit additivement α + β. Soit γ ∈ H 1 (L/k, M). Il existe [E] ∈
H 1
fppf (k, μ 2 r ) tel que γ − i ∗ [E] provienne d’une classe η ∈ H 1 (k, DM), qui
est triviale selon l’hypothèse (d). Le point est que i ∗ [E] appartient au noyau de
H 1
fppf (k, μ 2 r ) → H 1 (k, G) si bien que γ et 1 = γ − i ∗ [E] ont même image
dans H 1 (k, G).
Remarques 5.6.2
(a) Si le morphisme C G (S) → R 1
k /k (G m ) est scindé, les conditions (a) et (c) sont
vérifiées de façon évidente.
(b) Comme DM est semi-simple simplement connexe, l’hypothèse (a) est une
hypothèse de récurrence. De plus, si le k-groupe μ 2 r est central dans M,
l’hypothèse plus faible H 1 (k, DM) = 1 suffit. Cela se voit par inspection de la
dèmonstration.
(c) L’hypothèse (d) est vérifiée notamment lorsque C(G) contient un k-sousgroupe μ 2 r non inclus dans DM. Étant donné μ 2 r ⊆ C(G), il est aisé de
déterminer si μ 2 r est inclus dans DM. En effet cela se vérifie sur k s et avec
le k s -parabolique standard P Δ\α associé à P contenant le k s -tore déployé T .
Comme corad(M k s ) ∼ = corad(P Δ\α ) = Zω α , on a μ 2 r ⊂ DM si et seulement
si l’image du poids ω α par
T → μ 2 r = Z/2Z r est non triviale. Par analyse des
systèmes de racines (avec les conventions de Bourbaki [28]), il existe un tel μ 2 r
(r ≥ 1) dans C(G) \ DM dans les cas suivants:
(i) G est de type quasi-déployé 2 A 2m−1 avec m ≥ 2 impair α = α m .
(ii) G est de type B n (n ≥ 2) et α = α n .
(iii) G est de type C n (n ≥ 2) et α = α n .
(iv) G est de type quasi-déployé 1 D 2n (n ≥ 2) et α est n’importe quelle racine
simple.
(v) G est de type quasi-déployé 1 D 2n+1 (n ≥ 2) et α = α 1 , . . . , α 2n−1 .
(vi) G est de type E 7 et α = α 2 , α 3 , α 5 , α 7 .
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Etant donné γ ∈ H 1 (L/k, M), il existe donc [z] ∈ ker
H 1 (k, M) →
H 1 (k, G)
ayant même image que γ dans H 1 (k, R 1
L/k (G m )). Par suite on a
τ
−1
z (γ ) ∈ Im
H
1 (k, z DM) → H
1 (k, z M)
.
L’hypothèse (a) indique que τ −1
z (γ ) = 1 dans H 1 (k, z M), donc a fortiori dans
H 1 (k, z G). Vu que [z] = 1 dans H 1 (k, G) (Corollaire 5.5.2), la compatibilité
des bijections de torsions permet de conclure que l’image de γ dans H 1 (k, G)
est triviale, ce qui achève la démonstration.
(2) On va raffiner la démonstration précédente en supposant de plus μ 2 r central
dans M. On dispose alors du produit H 1
fppf (k, μ 2 r ) × H 1 (k, DM) → H 1 (k, M)
que l’on écrit additivement α + β. Soit γ ∈ H 1 (L/k, M). Il existe [E] ∈
H 1
fppf (k, μ 2 r ) tel que γ − i ∗ [E] provienne d’une classe η ∈ H 1 (k, DM), qui
est triviale selon l’hypothèse (d). Le point est que i ∗ [E] appartient au noyau de
H 1
fppf (k, μ 2 r ) → H 1 (k, G) si bien que γ et 1 = γ − i ∗ [E] ont même image
dans H 1 (k, G).
Remarques 5.6.2
(a) Si le morphisme C G (S) → R 1
k /k (G m ) est scindé, les conditions (a) et (c) sont
vérifiées de façon évidente.
(b) Comme DM est semi-simple simplement connexe, l’hypothèse (a) est une
hypothèse de récurrence. De plus, si le k-groupe μ 2 r est central dans M,
l’hypothèse plus faible H 1 (k, DM) = 1 suffit. Cela se voit par inspection de la
dèmonstration.
(c) L’hypothèse (d) est vérifiée notamment lorsque C(G) contient un k-sousgroupe μ 2 r non inclus dans DM. Étant donné μ 2 r ⊆ C(G), il est aisé de
déterminer si μ 2 r est inclus dans DM. En effet cela se vérifie sur k s et avec
le k s -parabolique standard P Δ\α associé à P contenant le k s -tore déployé T .
Comme corad(M k s ) ∼ = corad(P Δ\α ) = Zω α , on a μ 2 r ⊂ DM si et seulement
si l’image du poids ω α par
T → μ 2 r = Z/2Z r est non triviale. Par analyse des
systèmes de racines (avec les conventions de Bourbaki [28]), il existe un tel μ 2 r
(r ≥ 1) dans C(G) \ DM dans les cas suivants:
(i) G est de type quasi-déployé 2 A 2m−1 avec m ≥ 2 impair α = α m .
(ii) G est de type B n (n ≥ 2) et α = α n .
(iii) G est de type C n (n ≥ 2) et α = α n .
(iv) G est de type quasi-déployé 1 D 2n (n ≥ 2) et α est n’importe quelle racine
simple.
(v) G est de type quasi-déployé 1 D 2n+1 (n ≥ 2) et α = α 1 , . . . , α 2n−1 .
(vi) G est de type E 7 et α = α 2 , α 3 , α 5 , α 7 .