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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
5.7 Sur la R 1 -équivalence
Au §1.6.2, nous avons commencé à étudier la notion de R 1 -équivalence pour
l’ensemble H 1 (k, G). Le lien avec ce qui précède est assuré par le lemme suivant.
Lemme 5.7.1 Soit G un k-groupe réductif. Soit γ ∈ ker
H 1 (G m , G) →
H 1 (G m,k s , G)
tel que γ (1) = 1 ∈ H 1 (k, G). Alors il existe i : μ n → G tel
que γ = i ∗ (t) où (t) ∈ k[t ±1 ] × /k[t ±1 ] ×n ∼ = H 1
fppf (G m , μ n ).
Démonstration On a H 1 (Γ k , G(k s [t ±1 ]))
∼
−→ ker
H 1 (G m , G) → H 1 (G m,k s , G)
.
Soit T un k-tore maximal de G; on note N = N G (T ) son normalisateur et W G (T ) =
N G (T )/T . D’après [41, Lemma 5.15], l’application H 1 (Γ k , N(k s [t ±1 ])) →
H 1 (Γ k , G(k s [t ±1 ])) est surjective. Il existe donc un 1-cocycle n : Γ k → N(k s [t ±1 ])
tel que [n] = γ . On note n 1 la spécialisation de n en t = 1 et on tord toute la
situation par le cocycle n 1
On pose T = n 1 T , N = n 1 N , G = n 1 G ∼ = G puisque γ (1) = 1 ∈ H 1 (k, G). Il
est loisible de remplacer (G, T , N) par (G , T , N ) ce qui ramène au cas agréable
où n 1 = 1, ce que l’on suppose désormais. On considère la suite exacte 1 → T →
N G (T )
π
− → W G (T ) → 1. Le point est que W G (k s ) = W G (k s [t ±1 ]), donc π(n) =
π(n) 1 = π(n 1 ) = 1. Par suite, n appartient à T (k s [t ±1 ]).
Nous avons donc montré que l’on peut supposer sans perte de généralité
que que γ ∈ H 1
Γ k , T (k s [t ±1 ])
= H 1 (G m , T ). Par inspection de la preuve
du Lemme 1.6.5.(1), il existe i : μ n T tel que γ = i ∗ (t) où (t) ∈
k[t ±1 ] × /k[t ±1 ] ×n .
Proposition 5.7.2 Soit G un k-groupe absolument presque k-simple et simplement
connexe. On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G).
(1) Soit γ ∈ ker
H 1 (G m , G) → H 1 (G m,k s , G)
. Si γ (1) = 1 ∈ H 1 (k, G), alors
γ (t 0 ) = 1 ∈ H 1 (k, G) pour tout t 0 ∈ k × .
(2) On suppose que chaque l ∈ S(G) est inversible dans k. Soient β, β ∈ H 1 (k, G)
deux classes R 1 -équivalentes. Alors β = β .
Démonstration
(1) Le Lemme 5.7.1 produit un plongement i : μ n → G tel que γ = i ∗ (t)
où (t) ∈ k[t ±1 ] × /k[t ±1 ] ×n . Alors γ (t 0 ) = i ∗ ((t 0 )) avec (t 0 ) ∈ k × /k ×n .
La Proposition 5.5.1 permet de conclure que γ (t 0 ) = 1. Quitte à tordre G
par un 1-cocycle de classe β(1), on peut supposer que β(1) = 1. De plus,
on peut supposer que β est élémentairement R 1 -équivalent à β i.e. il existe
γ ∈ H 1 (G m , G) tel que γ (1) = β et γ (t 0 ) = β pour t 0 ∈ k × . L’hypothèse sur
la caractéristique du corps implique que H 1 (G m , G) = ker
H 1 (G m , G) →
H 1 (G m,k s , G)
[41, prop. 5.10]. Par suite, l’assertion (1) entraîne que β = 1 ∈
H 1 (k, G).
5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
5.7 Sur la R 1 -équivalence
Au §1.6.2, nous avons commencé à étudier la notion de R 1 -équivalence pour
l’ensemble H 1 (k, G). Le lien avec ce qui précède est assuré par le lemme suivant.
Lemme 5.7.1 Soit G un k-groupe réductif. Soit γ ∈ ker
H 1 (G m , G) →
H 1 (G m,k s , G)
tel que γ (1) = 1 ∈ H 1 (k, G). Alors il existe i : μ n → G tel
que γ = i ∗ (t) où (t) ∈ k[t ±1 ] × /k[t ±1 ] ×n ∼ = H 1
fppf (G m , μ n ).
Démonstration On a H 1 (Γ k , G(k s [t ±1 ]))
∼
−→ ker
H 1 (G m , G) → H 1 (G m,k s , G)
.
Soit T un k-tore maximal de G; on note N = N G (T ) son normalisateur et W G (T ) =
N G (T )/T . D’après [41, Lemma 5.15], l’application H 1 (Γ k , N(k s [t ±1 ])) →
H 1 (Γ k , G(k s [t ±1 ])) est surjective. Il existe donc un 1-cocycle n : Γ k → N(k s [t ±1 ])
tel que [n] = γ . On note n 1 la spécialisation de n en t = 1 et on tord toute la
situation par le cocycle n 1
On pose T = n 1 T , N = n 1 N , G = n 1 G ∼ = G puisque γ (1) = 1 ∈ H 1 (k, G). Il
est loisible de remplacer (G, T , N) par (G , T , N ) ce qui ramène au cas agréable
où n 1 = 1, ce que l’on suppose désormais. On considère la suite exacte 1 → T →
N G (T )
π
− → W G (T ) → 1. Le point est que W G (k s ) = W G (k s [t ±1 ]), donc π(n) =
π(n) 1 = π(n 1 ) = 1. Par suite, n appartient à T (k s [t ±1 ]).
Nous avons donc montré que l’on peut supposer sans perte de généralité
que que γ ∈ H 1
Γ k , T (k s [t ±1 ])
= H 1 (G m , T ). Par inspection de la preuve
du Lemme 1.6.5.(1), il existe i : μ n T tel que γ = i ∗ (t) où (t) ∈
k[t ±1 ] × /k[t ±1 ] ×n .
Proposition 5.7.2 Soit G un k-groupe absolument presque k-simple et simplement
connexe. On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G).
(1) Soit γ ∈ ker
H 1 (G m , G) → H 1 (G m,k s , G)
. Si γ (1) = 1 ∈ H 1 (k, G), alors
γ (t 0 ) = 1 ∈ H 1 (k, G) pour tout t 0 ∈ k × .
(2) On suppose que chaque l ∈ S(G) est inversible dans k. Soient β, β ∈ H 1 (k, G)
deux classes R 1 -équivalentes. Alors β = β .
Démonstration
(1) Le Lemme 5.7.1 produit un plongement i : μ n → G tel que γ = i ∗ (t)
où (t) ∈ k[t ±1 ] × /k[t ±1 ] ×n . Alors γ (t 0 ) = i ∗ ((t 0 )) avec (t 0 ) ∈ k × /k ×n .
La Proposition 5.5.1 permet de conclure que γ (t 0 ) = 1. Quitte à tordre G
par un 1-cocycle de classe β(1), on peut supposer que β(1) = 1. De plus,
on peut supposer que β est élémentairement R 1 -équivalent à β i.e. il existe
γ ∈ H 1 (G m , G) tel que γ (1) = β et γ (t 0 ) = β pour t 0 ∈ k × . L’hypothèse sur
la caractéristique du corps implique que H 1 (G m , G) = ker
H 1 (G m , G) →
H 1 (G m,k s , G)
[41, prop. 5.10]. Par suite, l’assertion (1) entraîne que β = 1 ∈
H 1 (k, G).