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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
(1) L’application H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) est triviale sur RH 1
fppf (k, μ).
(2) Si μ est déployé par une extension galoisienne métacyclique, l’application
caractéristique
(G/μ)(k) → H
1
fppf (k, μ)
est surjective et l’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G/μ) est injective.
Remarque 5.4.2 Supposons G semi-simple simplement connexe. Alors la condition
(QD) est satisfaite puisque C G (S) est quasi-trivial [60, XXVI.3.13]. En outre, si G
est une forme intérieure ou absolument presque k-simple, alors la condition sur μ
est satisfaite.
Exemples 5.4.3 Donnons trois cas particuliers.
(a) Soit A une algèbre simple centrale de degré d et prenons G = SL 1 (A) et μ =
μ d = Z(G). Alors G/μ d = PGL 1 (A) et l’application caractéristique
GL 1 (A)(k)/k
×
→ H
1
fppf (k, μ d ) ∼ = k
× /k
×d
est la norme réduite modulo d. Ainsi la Proposition 5.4.1 généralise la surjectivité des normes réduites étudiée au chapitre précédent.
(b) Soit q une forme quadratique non dégénérée de dimension 2n ≥ 4. On pose
G = Spin(q) et on considère la suite exacte centrale 1 → μ 2 → Spin(q) →
SO(q) → 1. Alors l’application caractéristique SO(q)(k) → H 1
fppf (k, μ 2 ) ∼ =
k × /k ×2 est la norme spinorielle qui est donc surjective si scd 2 (k) ≤ 2.
(c) Si G est quasi-déployé, la Proposition 5.4.1 est triviale. En effet, on sait que
G admet un k-tore maximal T qui est quasi-trivial [60, XXIV.3.13]. On a
μ ⊂ Z(G) ⊂ T , donc l’application H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) factorise
par H 1 (k, T ) = 1, donc est triviale. La suite exacte d’ensembles pointés
de cohomologie galoisienne (G/μ)(k) → H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) permet
alors de conclure que l’application caractéristique (G/μ)(k) → H 1
fppf (k, μ) est
surjective.
Nous procédons à la démonstration de la Proposition 5.4.1.
Démonstration
(1) Sans perte de généralité, on peut supposer que μ est l-primaire pour un premier
l et on note alors l n un annulateur de μ. On note T q un tore maximal de G q
satisfaisant l’hypothèse (QD). Soit X la variété des sous-groupes de Borel de
G. Pour tout corps F/k, on note C(F ) = ker
H 1
fppf (F, μ) → H 1 (F, G)
,
c’est l’image de l’application caractéristique (G/μ)(F ) → H 1
fppf (F, μ). On fait
appel maintenant à la Proposition 1.6.2 en considèrant une résolution flasque
1 → μ → S → E → 1 où E est un k-tore quasi-trivial et S un k-tore
flasque. Alors l’application caractéristique φ F : E(F ) → H 1
fppf (F, μ) a pour
5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
(1) L’application H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) est triviale sur RH 1
fppf (k, μ).
(2) Si μ est déployé par une extension galoisienne métacyclique, l’application
caractéristique
(G/μ)(k) → H
1
fppf (k, μ)
est surjective et l’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G/μ) est injective.
Remarque 5.4.2 Supposons G semi-simple simplement connexe. Alors la condition
(QD) est satisfaite puisque C G (S) est quasi-trivial [60, XXVI.3.13]. En outre, si G
est une forme intérieure ou absolument presque k-simple, alors la condition sur μ
est satisfaite.
Exemples 5.4.3 Donnons trois cas particuliers.
(a) Soit A une algèbre simple centrale de degré d et prenons G = SL 1 (A) et μ =
μ d = Z(G). Alors G/μ d = PGL 1 (A) et l’application caractéristique
GL 1 (A)(k)/k
×
→ H
1
fppf (k, μ d ) ∼ = k
× /k
×d
est la norme réduite modulo d. Ainsi la Proposition 5.4.1 généralise la surjectivité des normes réduites étudiée au chapitre précédent.
(b) Soit q une forme quadratique non dégénérée de dimension 2n ≥ 4. On pose
G = Spin(q) et on considère la suite exacte centrale 1 → μ 2 → Spin(q) →
SO(q) → 1. Alors l’application caractéristique SO(q)(k) → H 1
fppf (k, μ 2 ) ∼ =
k × /k ×2 est la norme spinorielle qui est donc surjective si scd 2 (k) ≤ 2.
(c) Si G est quasi-déployé, la Proposition 5.4.1 est triviale. En effet, on sait que
G admet un k-tore maximal T qui est quasi-trivial [60, XXIV.3.13]. On a
μ ⊂ Z(G) ⊂ T , donc l’application H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) factorise
par H 1 (k, T ) = 1, donc est triviale. La suite exacte d’ensembles pointés
de cohomologie galoisienne (G/μ)(k) → H 1
fppf (k, μ) → H 1 (k, G) permet
alors de conclure que l’application caractéristique (G/μ)(k) → H 1
fppf (k, μ) est
surjective.
Nous procédons à la démonstration de la Proposition 5.4.1.
Démonstration
(1) Sans perte de généralité, on peut supposer que μ est l-primaire pour un premier
l et on note alors l n un annulateur de μ. On note T q un tore maximal de G q
satisfaisant l’hypothèse (QD). Soit X la variété des sous-groupes de Borel de
G. Pour tout corps F/k, on note C(F ) = ker
H 1
fppf (F, μ) → H 1 (F, G)
,
c’est l’image de l’application caractéristique (G/μ)(F ) → H 1
fppf (F, μ). On fait
appel maintenant à la Proposition 1.6.2 en considèrant une résolution flasque
1 → μ → S → E → 1 où E est un k-tore quasi-trivial et S un k-tore
flasque. Alors l’application caractéristique φ F : E(F ) → H 1
fppf (F, μ) a pour