5.4 Conjecture II, normes et isogénies
81
Par composition, on conclut que H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) est surjectif.
Remarque 5.2.8 Dans le cas parfait, on aurait pu directement utiliser un résultat de
Grothendieck sur les gerbes [164, prop. 3.11].
5.3 Groupes de normes des variétés de sous-groupes de Borel
Soit G un k-groupe semi-simple. On rappelle que le k-foncteur B(R) =
{R-sous-groupe de Borel de G × k R} est représentable par un k-schéma X projectif
lisse homogène sous G appelé k-variété des sous-groupes de Borel de k [60,
XXII.5.8.3, XXVI 3.2]. Le fait suivant généralise la surjectivité de l’application de
norme réduite sous les hypothèses de la conjecture II.
Théorème 5.3.1 On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors
N X (k) = k × .
Démonstration Sans perte de généralité, on peut supposer G adjoint. On note G q
une forme quasi-déployée de G. Le Théorème 5.2.3 indique qu’il existe un k-tore
maximal i : T T→ G q , un k-torseur E sous T tel que [E] ∈ H 1 (k , T ) est une
classe S(G)-primaire et G ∼ = E G q . On a l’inégalité D E ≤ D X pour les fonctions
de détermination de E et de X. Notant {l 1 , . . . , l r } les premiers de torsion de G
premiers à n et γ = [E] ∈ H 1 (k, T ), on décompose γ = γ l 1 + · · · + γ l r où
γ l i désigne la composante l i -primaire de γ . On a D γ 1 ∧ · · · ∧ D γ r = D γ . Le
Théorème 4.7.1, (1) ⇒ (v), montre que N
s´ ep
γ i (L) = L × pour toute extension
finie séparable de k. Le Lemme 4.1.6.(5) permet de conclure que N
s´ ep
γ (k) = k × et
partant que N
s´ ep
X (k) = k × .
Remarque 5.3.2 Examinons le cas particulier du corps l-spécial k (l) . Soient G
un k-groupe semi-simple et X la variété des sous-groupes de Borel de G. Soit
l un nombre premier tel que scd l (k) ≤ 2. Alors k (l) satisfait les hypothèses du
Théorème 5.3.1 d’où N X
k (l) = (k (l) ) × . D’après le Lemme 4.1.7.(1), ceci entraîne
que N X (k) . k ×l n = k × pour tout entier n ≥ 1.
5.4 Conjecture II, normes et isogénies
Le « contrôle des extensions centrales » est une étape importante de notre approche
de la conjecture II, elle est fondée sur le principe de normes [75, 133].
Proposition 5.4.1 Soit G un k-groupe réductif satisfaisant l’hypothèse suivante:
(QD): G q admet un tore maximal facteur direct d’un k-tore quasi-trivial.
Soit μ ⊂ G un k-sous-groupe fini central de type multiplicatif. On suppose que
scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S(DG) divisant l’ordre de μ(k s ).
81
Par composition, on conclut que H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) est surjectif.
Remarque 5.2.8 Dans le cas parfait, on aurait pu directement utiliser un résultat de
Grothendieck sur les gerbes [164, prop. 3.11].
5.3 Groupes de normes des variétés de sous-groupes de Borel
Soit G un k-groupe semi-simple. On rappelle que le k-foncteur B(R) =
{R-sous-groupe de Borel de G × k R} est représentable par un k-schéma X projectif
lisse homogène sous G appelé k-variété des sous-groupes de Borel de k [60,
XXII.5.8.3, XXVI 3.2]. Le fait suivant généralise la surjectivité de l’application de
norme réduite sous les hypothèses de la conjecture II.
Théorème 5.3.1 On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors
N X (k) = k × .
Démonstration Sans perte de généralité, on peut supposer G adjoint. On note G q
une forme quasi-déployée de G. Le Théorème 5.2.3 indique qu’il existe un k-tore
maximal i : T T→ G q , un k-torseur E sous T tel que [E] ∈ H 1 (k , T ) est une
classe S(G)-primaire et G ∼ = E G q . On a l’inégalité D E ≤ D X pour les fonctions
de détermination de E et de X. Notant {l 1 , . . . , l r } les premiers de torsion de G
premiers à n et γ = [E] ∈ H 1 (k, T ), on décompose γ = γ l 1 + · · · + γ l r où
γ l i désigne la composante l i -primaire de γ . On a D γ 1 ∧ · · · ∧ D γ r = D γ . Le
Théorème 4.7.1, (1) ⇒ (v), montre que N
s´ ep
γ i (L) = L × pour toute extension
finie séparable de k. Le Lemme 4.1.6.(5) permet de conclure que N
s´ ep
γ (k) = k × et
partant que N
s´ ep
X (k) = k × .
Remarque 5.3.2 Examinons le cas particulier du corps l-spécial k (l) . Soient G
un k-groupe semi-simple et X la variété des sous-groupes de Borel de G. Soit
l un nombre premier tel que scd l (k) ≤ 2. Alors k (l) satisfait les hypothèses du
Théorème 5.3.1 d’où N X
k (l) = (k (l) ) × . D’après le Lemme 4.1.7.(1), ceci entraîne
que N X (k) . k ×l n = k × pour tout entier n ≥ 1.
5.4 Conjecture II, normes et isogénies
Le « contrôle des extensions centrales » est une étape importante de notre approche
de la conjecture II, elle est fondée sur le principe de normes [75, 133].
Proposition 5.4.1 Soit G un k-groupe réductif satisfaisant l’hypothèse suivante:
(QD): G q admet un tore maximal facteur direct d’un k-tore quasi-trivial.
Soit μ ⊂ G un k-sous-groupe fini central de type multiplicatif. On suppose que
scd l (k) ≤ 2 pour tout l ∈ S(DG) divisant l’ordre de μ(k s ).