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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
Démonstration
(1) Soit T le centre connexe de G et notons G = G/T . Alors G est semi-simple
et le Théorème 5.2.5 montre que G est quasi-déployé. Il en est de même de
G en retirant un sous-groupe de Borel de G . On a H 1 (k, T ) = 1 suivant
la Proposition 4.6.2 et H 1 (k, G ) d’après le résultat précédent, d’où aussitôt
H 1 (k, G) = 1.
(2) L’application caractéristique (G/H )(k) → H 1
fppf (k, H ) induit une bijection (cf.
[82, prop. 2.4.3])
G(k)\(G/H )(k)
∼
−→ ker
H
1
fppf (k, H ) → H
1 (k, G)
.
Le (1) donne donc la bijection désirée.
Pour les groupes non connexes, on a le résultat suivant.
Théorème 5.2.7 On suppose que scd(k) ≤ 1. Soit G/k un groupe algébrique affine
et lisse tel que G 0 est réductif. Alors l’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) est
bijective.
Démonstration Comme H 1 (k, G 0 ) = 1 d’après le corollaire précédent, la flèche
H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) a un noyau trivial. L’argument de torsion habituel
montre que H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) est injectif. Montrons la surjectivité. Soit
T un k-tore maximal de G 0 . On note N = N G (T ) le normalisateur de T dans G.
Dans l’article [40, §3], on construit un k-sous-groupe fini S de N G (T ) tel que S se
surjecte sur G/G 0 et tel que S soit une extension d’un k-groupe fini étale H par un
k-groupe fini de type multiplicatif μ. On décompose μ = μ × μ où μ désigne la
partie p-primaire de μ. Alors H = S/μ est un k-groupe étale qui se surjecte sur
G/G 0 . On décompose le problème en deux en factorisant S → G/G 0 par H .
L’application H 1
fppf (k, S) → H 1
fppf (k, H ) est surjective On a une suite exacte
1 → μ → S → H → 1. Soit E un H -torseur. L’obstruction à relever [E] ∈
H 1
fppf (k, H ) en une classe de H 1
fppf (k, S) est une classe γ (E) = H 2
fppf (k, E μ ) [87,
IV.4.2.8]. Or E μ est un k-groupe fini de type multiplicatif donc H 2
fppf (k, E μ ) = 0
en vertu de la Proposition 4.6.2.
L’application H 1
fppf (k, H ) → H 1 (k, G/G 0 ) est surjective On note M le noyau de
H → G/G 0 , c’est un k-groupe fini étale. Soit F un G/G 0 -torseur. L’obstruction à
relever [F ] ∈ H 1
fppf (k, G/G 0 ) est en une classe de H 1
fppf (k, H ) est donnée par une
extension topologique de groupes
1 → M → E → Γ k → 1.
Celle-ci est (topologiquement) scindée si et seulement si [F ] se relève dans
H 1 (k, H ) [164, prop. 1.28]. Par hypothèse, on a cd(Γ k ) ≤ 1, donc Γ k est un groupe
profini projectif (Gruenberg [93, th. 4]). En particulier la suite exacte ci-dessus est
scindée et [F ] se relève dans H 1 (k, H ).
5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
Démonstration
(1) Soit T le centre connexe de G et notons G = G/T . Alors G est semi-simple
et le Théorème 5.2.5 montre que G est quasi-déployé. Il en est de même de
G en retirant un sous-groupe de Borel de G . On a H 1 (k, T ) = 1 suivant
la Proposition 4.6.2 et H 1 (k, G ) d’après le résultat précédent, d’où aussitôt
H 1 (k, G) = 1.
(2) L’application caractéristique (G/H )(k) → H 1
fppf (k, H ) induit une bijection (cf.
[82, prop. 2.4.3])
G(k)\(G/H )(k)
∼
−→ ker
H
1
fppf (k, H ) → H
1 (k, G)
.
Le (1) donne donc la bijection désirée.
Pour les groupes non connexes, on a le résultat suivant.
Théorème 5.2.7 On suppose que scd(k) ≤ 1. Soit G/k un groupe algébrique affine
et lisse tel que G 0 est réductif. Alors l’application H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) est
bijective.
Démonstration Comme H 1 (k, G 0 ) = 1 d’après le corollaire précédent, la flèche
H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) a un noyau trivial. L’argument de torsion habituel
montre que H 1 (k, G) → H 1 (k, G/G 0 ) est injectif. Montrons la surjectivité. Soit
T un k-tore maximal de G 0 . On note N = N G (T ) le normalisateur de T dans G.
Dans l’article [40, §3], on construit un k-sous-groupe fini S de N G (T ) tel que S se
surjecte sur G/G 0 et tel que S soit une extension d’un k-groupe fini étale H par un
k-groupe fini de type multiplicatif μ. On décompose μ = μ × μ où μ désigne la
partie p-primaire de μ. Alors H = S/μ est un k-groupe étale qui se surjecte sur
G/G 0 . On décompose le problème en deux en factorisant S → G/G 0 par H .
L’application H 1
fppf (k, S) → H 1
fppf (k, H ) est surjective On a une suite exacte
1 → μ → S → H → 1. Soit E un H -torseur. L’obstruction à relever [E] ∈
H 1
fppf (k, H ) en une classe de H 1
fppf (k, S) est une classe γ (E) = H 2
fppf (k, E μ ) [87,
IV.4.2.8]. Or E μ est un k-groupe fini de type multiplicatif donc H 2
fppf (k, E μ ) = 0
en vertu de la Proposition 4.6.2.
L’application H 1
fppf (k, H ) → H 1 (k, G/G 0 ) est surjective On note M le noyau de
H → G/G 0 , c’est un k-groupe fini étale. Soit F un G/G 0 -torseur. L’obstruction à
relever [F ] ∈ H 1
fppf (k, G/G 0 ) est en une classe de H 1
fppf (k, H ) est donnée par une
extension topologique de groupes
1 → M → E → Γ k → 1.
Celle-ci est (topologiquement) scindée si et seulement si [F ] se relève dans
H 1 (k, H ) [164, prop. 1.28]. Par hypothèse, on a cd(Γ k ) ≤ 1, donc Γ k est un groupe
profini projectif (Gruenberg [93, th. 4]). En particulier la suite exacte ci-dessus est
scindée et [F ] se relève dans H 1 (k, H ).