5.2 Classes de conjugaison rationnelles, application à la conjecture I
79
G k n’a pas de facteur de type G 2 Alors H 1 (k, T 1 ) est un groupe S(G)-primaire
d’après le Théorème 5.1.2 et on a fini.
Les facteurs simples de G k sont tous de type G 2 On commence par le cas où G
est simple. Alors z G est le groupe d’automorphismes d’une algèbre d’octonions C.
L’algèbre C est construite par le procédé de duplication de Cayley-Dickson, c’est-à -
dire que C admet une sous-algèbre de quaternions Q [167, th 1.6.2]. Alors z G admet
un k-sous-groupe isomorphe à H (Q) :=
SL 1 (Q) × SL 1 (Q)
/μ 2 . Soit K ⊂ Q
une sous-algèbre étale quadratique de k. Alors H (Q) admet le k-tore maximal T =
R 1
K/k (G m )×R 1
K/k (G m )
/μ 2 et donc z G admet le k-tore maximal T . Comme T (k)
est Zariski dense dans T , il existe t 0 ∈ T (k) tel que t est régulier et C z G (t 0 ) = T .
En prenant g sc = t 0 , on obtient un plongement i 1 : T 1 ∼ = T → G de sorte que
[z] ∈ Im
H 1 (k, T 1 )
i 1,∗
− − → H 1 (k, G)
.
Passons au cas général. Il existe des extensions de corps finies séparables
k 1 , . . . , k n de k telles que G = R k 1 /k (H 1 ) × · · · × R k n /k (H n ) où chaque G i est
le k i -groupe déployé de type G 2 . L’application du cas précédent à chaque H i /k i
achève la démonstration.
Remarque 5.2.4 Une version plus précise de ce résultat figure dans l’article [12,
§2.4], elle utilise la notion de type orienté d’un sous-tore maximal de G.
On va donner un énoncé général pour un groupe semi-simple G qui dans le cas
absolument presque k-simple répond à la conjecture I.
Théorème 5.2.5 Soit G/k un groupe semi-simple. On suppose que scd l (G) ≤ 1
pour tout premier l ∈ S(G). Alors G est quasi-déployé et H 1 (k, G) = 1.
Démonstration Étant donné une classe γ ∈ H 1 (k, G q ), le Théorème 5.2.3 montre
qu’il existe un k-tore maximal i : T → G q tel que
γ ∈ Im
H
1 (k, T ){S(G)}
i ∗
− → H
1 (k, G)
.
Par ailleurs, pour l ∈ S(G), la propriété scd l (k) ≤ 1 entraîne que H 1 (k, T ){l} = 0
(Prop. 4.6.2). Comme H 1 (k, T ) est un groupe de torsion, il suit que H 1 (k, T ) = 0,
d’où γ = 1 ∈ H 1 (k, G q ).
En particulier, on a H 1 (k, G
q
ad ) = 1 et comme G est une forme intérieure de
G q , il suit que G est isomorphe à G q , c’est-à-dire quasi-déployé. On conclut que
H 1 (k, G) = 1.
Pour les autres groupes, on obtient l’énoncé suivant.
Corollaire 5.2.6 On suppose que scd(k) ≤ 1. Soit G/k un groupe réductif.
(1) Alors G est quasi-déployé et H 1 (k, G) = 1.
(2) Si H ⊂ G désigne un k-sous-groupe fermé de G, alors on a une bijection
G(k)\(G/H )(k)
∼
−→ H 1
fppf (k, H ).
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G k n’a pas de facteur de type G 2 Alors H 1 (k, T 1 ) est un groupe S(G)-primaire
d’après le Théorème 5.1.2 et on a fini.
Les facteurs simples de G k sont tous de type G 2 On commence par le cas où G
est simple. Alors z G est le groupe d’automorphismes d’une algèbre d’octonions C.
L’algèbre C est construite par le procédé de duplication de Cayley-Dickson, c’est-à -
dire que C admet une sous-algèbre de quaternions Q [167, th 1.6.2]. Alors z G admet
un k-sous-groupe isomorphe à H (Q) :=
SL 1 (Q) × SL 1 (Q)
/μ 2 . Soit K ⊂ Q
une sous-algèbre étale quadratique de k. Alors H (Q) admet le k-tore maximal T =
R 1
K/k (G m )×R 1
K/k (G m )
/μ 2 et donc z G admet le k-tore maximal T . Comme T (k)
est Zariski dense dans T , il existe t 0 ∈ T (k) tel que t est régulier et C z G (t 0 ) = T .
En prenant g sc = t 0 , on obtient un plongement i 1 : T 1 ∼ = T → G de sorte que
[z] ∈ Im
H 1 (k, T 1 )
i 1,∗
− − → H 1 (k, G)
.
Passons au cas général. Il existe des extensions de corps finies séparables
k 1 , . . . , k n de k telles que G = R k 1 /k (H 1 ) × · · · × R k n /k (H n ) où chaque G i est
le k i -groupe déployé de type G 2 . L’application du cas précédent à chaque H i /k i
achève la démonstration.
Remarque 5.2.4 Une version plus précise de ce résultat figure dans l’article [12,
§2.4], elle utilise la notion de type orienté d’un sous-tore maximal de G.
On va donner un énoncé général pour un groupe semi-simple G qui dans le cas
absolument presque k-simple répond à la conjecture I.
Théorème 5.2.5 Soit G/k un groupe semi-simple. On suppose que scd l (G) ≤ 1
pour tout premier l ∈ S(G). Alors G est quasi-déployé et H 1 (k, G) = 1.
Démonstration Étant donné une classe γ ∈ H 1 (k, G q ), le Théorème 5.2.3 montre
qu’il existe un k-tore maximal i : T → G q tel que
γ ∈ Im
H
1 (k, T ){S(G)}
i ∗
− → H
1 (k, G)
.
Par ailleurs, pour l ∈ S(G), la propriété scd l (k) ≤ 1 entraîne que H 1 (k, T ){l} = 0
(Prop. 4.6.2). Comme H 1 (k, T ) est un groupe de torsion, il suit que H 1 (k, T ) = 0,
d’où γ = 1 ∈ H 1 (k, G q ).
En particulier, on a H 1 (k, G
q
ad ) = 1 et comme G est une forme intérieure de
G q , il suit que G est isomorphe à G q , c’est-à-dire quasi-déployé. On conclut que
H 1 (k, G) = 1.
Pour les autres groupes, on obtient l’énoncé suivant.
Corollaire 5.2.6 On suppose que scd(k) ≤ 1. Soit G/k un groupe réductif.
(1) Alors G est quasi-déployé et H 1 (k, G) = 1.
(2) Si H ⊂ G désigne un k-sous-groupe fermé de G, alors on a une bijection
G(k)\(G/H )(k)
∼
−→ H 1
fppf (k, H ).