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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
Si g 0 ∈ G(k), on note que la G(k s )-classe de conjugaison C (g 0 ) est rationnelle.
Théorème 5.2.1 (Steinberg, [168, 10.1] et [21, 8.6] dans le cas non parfait)
On suppose que G est semi-simple simplement connexe et quasi-déployé. Soit C
une classe de conjugaison rationnelle semi-simple régulière (i.e. formée d’éléments
semi-simples réguliers). Alors il existe un élément g 0 ∈ G(k) tel que C = C (g 0 ).
Remarques 5.2.2
(a) Si k est de caractéristique nulle, ce résultat vaut pour toute classe de conjugaison
rationnelle (Kottwitz, [116, th .4.1]).
(b) En excluant le type A 2m , ce résultat admet une généralisation sur un anneau
semi-local (Lee [122, §5.5]).
Une conséquence importante est la suivante.
Théorème 5.2.3 Soit G un k-groupe semi-simple quasi-déployé. Pour toute classe
γ ∈ H 1 (k, G), il existe un k-tore maximal i : T T→ G tel que
γ ∈ Im
H
1 (k, T ){S(G)} → H
1 (k, G)
.
Démonstration Si k est fini, il n’y a rien à faire puisque alors on a H 1 (k, G) = 1
d’après le théorème de Lang. On peut donc supposer que k est infini. Soit [z] ∈
H 1 (k, G) et notons P (z) l’espace principal homogène sous G défini par z et par
φ : G k s
∼
−→ P (z) k s la trivialisation satisfaisant z σ = φ −1 ◦ σ (φ) pour tout σ ∈ Γ k .
Cette trivialisation induit un k s -isomorphisme de groupes ϕ ∗ : G k s
∼
−→ ( z G) k s
satisfaisant int(z σ ) = ϕ −1 ◦ σ (ϕ) pour tout σ ∈ Γ k .
On note f : G sc → G le revêtement universel de G. On choisit un élément
régulier g sc ∈ ( z G)
sc (k). On considère la classe de G sc (k s )-conjugaison C de
ϕ −1 (g sc ) dans G sc (k s ). Nous affirmons que cette classe de conjugaison est rationnelle, c’est-à-dire est stable par Γ k . En effet, on a
ϕ −1 (g sc )
= z σ
σ
ϕ −1 (g sc )
z −1
σ
pour tout σ ∈ Γ k . D’après le théorème de Steinberg sur les classes de conjugaison
rationnelles (Th. 5.2.1), l’intersertion C ∩ G sc (k) est non vide. Par suite, il existe
des éléments g sc
1 ∈ G sc (k) et h sc ∈ G sc (k s ) tels que ϕ −1 (g) = (h sc ) −1 g sc
1 h sc . On
pose g = z f (g sc ), g 1 = f (g sc
1 ), h = f (h sc ), T 1 = C G (g 1 ) et i 1 : T 1 → G.
Puisque ϕ −1 (g) ∈ G(k) et g 1 ∈ G(k), on a h g 1 h −1 = z σ
σ (h −1 g 1 h) z −1
σ =
z σ h −σ g 1
σ h z −1
σ pour tout σ ∈ Γ k d’où
g 1 = a σ g 1 a
−1
σ
où a σ = h z σ h −σ est un 1-cocycle cohomologue à z et à valeurs dans in T 1 (k s ) =
Z G (T 1 )(k s ).
Comme les groupes de type G 2 sont simplement connexes et adjoint, on a une
décomposition G = G × G où G
k
est sans facteur de type G 2 et tous les facteurs
simples de G
k
sont de type G 2 . On a donc deux cas à discuter séparément.
5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
Si g 0 ∈ G(k), on note que la G(k s )-classe de conjugaison C (g 0 ) est rationnelle.
Théorème 5.2.1 (Steinberg, [168, 10.1] et [21, 8.6] dans le cas non parfait)
On suppose que G est semi-simple simplement connexe et quasi-déployé. Soit C
une classe de conjugaison rationnelle semi-simple régulière (i.e. formée d’éléments
semi-simples réguliers). Alors il existe un élément g 0 ∈ G(k) tel que C = C (g 0 ).
Remarques 5.2.2
(a) Si k est de caractéristique nulle, ce résultat vaut pour toute classe de conjugaison
rationnelle (Kottwitz, [116, th .4.1]).
(b) En excluant le type A 2m , ce résultat admet une généralisation sur un anneau
semi-local (Lee [122, §5.5]).
Une conséquence importante est la suivante.
Théorème 5.2.3 Soit G un k-groupe semi-simple quasi-déployé. Pour toute classe
γ ∈ H 1 (k, G), il existe un k-tore maximal i : T T→ G tel que
γ ∈ Im
H
1 (k, T ){S(G)} → H
1 (k, G)
.
Démonstration Si k est fini, il n’y a rien à faire puisque alors on a H 1 (k, G) = 1
d’après le théorème de Lang. On peut donc supposer que k est infini. Soit [z] ∈
H 1 (k, G) et notons P (z) l’espace principal homogène sous G défini par z et par
φ : G k s
∼
−→ P (z) k s la trivialisation satisfaisant z σ = φ −1 ◦ σ (φ) pour tout σ ∈ Γ k .
Cette trivialisation induit un k s -isomorphisme de groupes ϕ ∗ : G k s
∼
−→ ( z G) k s
satisfaisant int(z σ ) = ϕ −1 ◦ σ (ϕ) pour tout σ ∈ Γ k .
On note f : G sc → G le revêtement universel de G. On choisit un élément
régulier g sc ∈ ( z G)
sc (k). On considère la classe de G sc (k s )-conjugaison C de
ϕ −1 (g sc ) dans G sc (k s ). Nous affirmons que cette classe de conjugaison est rationnelle, c’est-à-dire est stable par Γ k . En effet, on a
ϕ −1 (g sc )
= z σ
σ
ϕ −1 (g sc )
z −1
σ
pour tout σ ∈ Γ k . D’après le théorème de Steinberg sur les classes de conjugaison
rationnelles (Th. 5.2.1), l’intersertion C ∩ G sc (k) est non vide. Par suite, il existe
des éléments g sc
1 ∈ G sc (k) et h sc ∈ G sc (k s ) tels que ϕ −1 (g) = (h sc ) −1 g sc
1 h sc . On
pose g = z f (g sc ), g 1 = f (g sc
1 ), h = f (h sc ), T 1 = C G (g 1 ) et i 1 : T 1 → G.
Puisque ϕ −1 (g) ∈ G(k) et g 1 ∈ G(k), on a h g 1 h −1 = z σ
σ (h −1 g 1 h) z −1
σ =
z σ h −σ g 1
σ h z −1
σ pour tout σ ∈ Γ k d’où
g 1 = a σ g 1 a
−1
σ
où a σ = h z σ h −σ est un 1-cocycle cohomologue à z et à valeurs dans in T 1 (k s ) =
Z G (T 1 )(k s ).
Comme les groupes de type G 2 sont simplement connexes et adjoint, on a une
décomposition G = G × G où G
k
est sans facteur de type G 2 et tous les facteurs
simples de G
k
sont de type G 2 . On a donc deux cas à discuter séparément.