5.2 Classes de conjugaison rationnelles, application à la conjecture I
77
T = P (R) et le lemme 5.1.3 appliqué à l’image de l’homomorphisme Γ k → A(R)
montre que
T admet un sous-réseau galoisien P d’indice premier à l, qui est de
permutation. Par dualité de Cartier, on obtient une suite exacte de k-groupes de
type multiplicatifs 1 → μ → E → T → 1 où E est un k-tore quasi-trivial et μ
un k-groupe fini d’ordre premier à l. Comme μ est d’exposant premier à l , on a
H
i
fppf (k, μ){l} = 0 pour tout i ≥ 0. Par suite, l’application H 1 (k, E) → H 1 (k, T )
induit un isomorphisme H 1 (k, E){l}
∼
−→ H 1 (k, T ){l} . Comme E est quasi-trivial,
on conclut que H 1 (k, T ){l} = 0.
De même, en utilisant les suites exactes de modules galoisiens 0 →
T →
E →
μ → 0 et 0 → (
E) 0 → (
T ) 0 → μ(−1) → 0, on obtient que H 1 (k,
T ){l} = 0 et
H 1 (k,
T 0 ){l} = 0.
Cas G semi-simple simplement connexe On écrit G = R k 1 /k (G 1 )×· · ·×R k n /k (G n )
où les k i sont des extensions séparables de corps et les G i des k i -groupes absolument
presque k i -simples et simplement connexe. Alors les k i sont l-spéciaux et T se
décompose en T = R k 1 /k (T 1 ) × · · · × R k n /k (T n ) où chaque T i est un k i -tore
maximal de G i . Le cas précédent et l’isomorphisme de « Shapiro » montre que
H 1 (k, T ){l} = 0 et H 1 (k,
T ){l} = 0 et H 1 (k,
T 0 ){l} = 0.
Cas général Soit f :
G → G le revêtement universel de G. Alors
ker(f )(k s )
est d’ordre premier à l. On pose
T = f −1 (T ). Le même raisonnement (qu’au
premier cas) appliqué à la suite exacte 1 → ker(f ) →
T → T → 1 induit un
isomorphisme H 1 (k,
T ){l}
∼
−→ H 1 (k, T ){l}. Le cas précédent permet de conclure
que H 1 (k, T ){l} = 0. De la même façon, on obtient que H 1 (k,
T ){l} = 0 et
H 1 (k,
T 0 ){l} = 0.
Remarque 5.1.4 L’exception pour le type G 2 se voit aussi dans le Théorème 5.1.2.
Si G 0 désigne le groupe de Chevalley de type G 2 , il contient un sous-groupe
H 0 ∼ = SL 3 de rang maximal. Soit K/k une algèbre étale cubique, alors le tore
normique T = R 1
K/k (G m ) est un sous-tore de SL 3 ∼ = SL(K) et est donc un sous-tore
maximal de G 0 . La suite exacte 1 → T → R K/k (G m )
N K/k
− −− → G m → 1 induit un
isomorphisme K × /N K/k (K × )
∼
−→ H 1 (k, T ). Ce groupe est tué par multiplication
par 3 et est non trivial par exemple si k est un corps local non archimédien (ou un
corps de nombres) et K une extension de corps cyclique de degré 3.
5.2 Classes de conjugaison rationnelles, application à la
conjecture I
Soit G un k-groupe algébrique linéaire. On dit qu’une G(k s )-classe de conjugaison
C de G(k s ) est rationnelle si elle est stable par l’action du groupe de Galois Γ k . De
façon équivalente, la G(k s )-classe de conjugaison C (g) d’un élément g ∈ G(k s ) est
rationnelle si σ (g) est G(k s )-conjugué à g pour tout σ ∈ Γ k .
77
T = P (R) et le lemme 5.1.3 appliqué à l’image de l’homomorphisme Γ k → A(R)
montre que
T admet un sous-réseau galoisien P d’indice premier à l, qui est de
permutation. Par dualité de Cartier, on obtient une suite exacte de k-groupes de
type multiplicatifs 1 → μ → E → T → 1 où E est un k-tore quasi-trivial et μ
un k-groupe fini d’ordre premier à l. Comme μ est d’exposant premier à l , on a
H
i
fppf (k, μ){l} = 0 pour tout i ≥ 0. Par suite, l’application H 1 (k, E) → H 1 (k, T )
induit un isomorphisme H 1 (k, E){l}
∼
−→ H 1 (k, T ){l} . Comme E est quasi-trivial,
on conclut que H 1 (k, T ){l} = 0.
De même, en utilisant les suites exactes de modules galoisiens 0 →
T →
E →
μ → 0 et 0 → (
E) 0 → (
T ) 0 → μ(−1) → 0, on obtient que H 1 (k,
T ){l} = 0 et
H 1 (k,
T 0 ){l} = 0.
Cas G semi-simple simplement connexe On écrit G = R k 1 /k (G 1 )×· · ·×R k n /k (G n )
où les k i sont des extensions séparables de corps et les G i des k i -groupes absolument
presque k i -simples et simplement connexe. Alors les k i sont l-spéciaux et T se
décompose en T = R k 1 /k (T 1 ) × · · · × R k n /k (T n ) où chaque T i est un k i -tore
maximal de G i . Le cas précédent et l’isomorphisme de « Shapiro » montre que
H 1 (k, T ){l} = 0 et H 1 (k,
T ){l} = 0 et H 1 (k,
T 0 ){l} = 0.
Cas général Soit f :
G → G le revêtement universel de G. Alors
ker(f )(k s )
est d’ordre premier à l. On pose
T = f −1 (T ). Le même raisonnement (qu’au
premier cas) appliqué à la suite exacte 1 → ker(f ) →
T → T → 1 induit un
isomorphisme H 1 (k,
T ){l}
∼
−→ H 1 (k, T ){l}. Le cas précédent permet de conclure
que H 1 (k, T ){l} = 0. De la même façon, on obtient que H 1 (k,
T ){l} = 0 et
H 1 (k,
T 0 ){l} = 0.
Remarque 5.1.4 L’exception pour le type G 2 se voit aussi dans le Théorème 5.1.2.
Si G 0 désigne le groupe de Chevalley de type G 2 , il contient un sous-groupe
H 0 ∼ = SL 3 de rang maximal. Soit K/k une algèbre étale cubique, alors le tore
normique T = R 1
K/k (G m ) est un sous-tore de SL 3 ∼ = SL(K) et est donc un sous-tore
maximal de G 0 . La suite exacte 1 → T → R K/k (G m )
N K/k
− −− → G m → 1 induit un
isomorphisme K × /N K/k (K × )
∼
−→ H 1 (k, T ). Ce groupe est tué par multiplication
par 3 et est non trivial par exemple si k est un corps local non archimédien (ou un
corps de nombres) et K une extension de corps cyclique de degré 3.
5.2 Classes de conjugaison rationnelles, application à la
conjecture I
Soit G un k-groupe algébrique linéaire. On dit qu’une G(k s )-classe de conjugaison
C de G(k s ) est rationnelle si elle est stable par l’action du groupe de Galois Γ k . De
façon équivalente, la G(k s )-classe de conjugaison C (g) d’un élément g ∈ G(k s ) est
rationnelle si σ (g) est G(k s )-conjugué à g pour tout σ ∈ Γ k .