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5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
H est semi-simple Alors le diagramme de Dynkin de H est obtenu en retirant un
sommet α diagramme de Dynkin
Δ étendu associé à Δ avec la condition que la
valence est un nombre premier. Une nouvelle fois, une vérification des tables produit
l’inclusion souhaitée S t (H ) ⊆ S t (G).
Théorème 5.1.2 (Harder, [96, I, §9]) Soit T un k-tore maximal de G. Alors pour
tout premier l ∈ S t (G) et toute extension de corps F/k, on a H 1 (F, T ){l} = 0,
H 1 (F,
T ){l} = 0 et H 1 (F,
T 0 ){l} = 0.
Lemme 5.1.3 Soient R un système de racines irréductible réduit et P le réseau des
poids. On note Δ le diagramme de Dynkin de R. Soient l un nombre premier et Γ
un l-groupe fini agissant sur R. Si l ∈ S t (G), alors P admet un sous Γ -module de
permutation P d’indice fini de degré premier à l.
Démonstration On note W (R) le groupe de Weyl de R, A(R) son groupe d’automorphismes et Q le réseau des racines. On note que Q est d’indice premier à l
dans P . L’action Γ → A(R) factorise par un l-groupe de Sylow de A(R), donc
un l-groupe de Sylow de W (R) (l) vu que l ∈ S t (Δ). On peut donc supposer que
Γ = W (R) (l) et on raisonne alors cas par cas. En types B n (n ≥ 3), C n (n ≥ 2),
Δ = D n (n ≥ 4), on prend P = Q; en effet, on a alors W (l) ⊂ S n .
Cas A n (n ≥ 1) On a une suite exacte de S n+1 = W (R)-modules 0 → Q →
Z[S n+1 /S n ]
− → Z → 0. On pose P =
(n + 1)[i] − 1
i=1,...,n
, c’est un sous-S n+1 -
module d’indice (n + 1), donc premier à l, qui est de permutation.
Cas Δ = E 6 Si l = 5, alors W (R) (l) = 1 et il n’y a rien à faire. Le groupe W (R) (5)
est cyclique et stabilise un sous-système R de R de type A 1 × A 5 . Alors Q(R ) est
d’indice premier à l dans Q(R) et le cas de A n indique que Q(R ) contient un sous
W (R) (5) -module de permutation qui est d’indice premier à l.
Cas Δ = E 7 Si l = 5, 7, alors W (R) (l) = 1 et ce cas est trivial. Le groupe
W (R) (5) (resp. W (R) (5) ) est cyclique et stabilise un sous-système R de R de type
A 7 . L’argument est alors le même que pour E 6 .
Cas Δ = E 8 On peut supposer aussi ici que l = 5, 7. Le groupe W (R) (5) (resp.
W (R) (7) ) est bicyclique (resp. cyclique) et stabilise un sous-système R de R de
type A 5 × A 5 (resp. A 8 ). Le même argument fonctionne.
Cas Δ = F 4 Vu que A(D 4 ) = W (F 4 ), ce cas suit de celui de D 4 .
Cas Δ = G 2 Ce cas est trivial puisque W (l) = 1.
Nous pouvons procéder à la démonstration du Théorème 5.1.2.
Démonstration On fixe un nombre premier l. On suppose que l ∈ S t (G). Soit T
un k-tore maximal de G. On note K nr l’extension maximale non ramifiée de K =
k((t)). Ceci permet de supposer que k est un corps l-spécial.
Cas G semi-simple simplement connexe presque k-simple On note R le système de
racines Φ(G k s , T k s ), il est simple et réduit. Comme G est simplement connexe, on a
5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes
H est semi-simple Alors le diagramme de Dynkin de H est obtenu en retirant un
sommet α diagramme de Dynkin
Δ étendu associé à Δ avec la condition que la
valence est un nombre premier. Une nouvelle fois, une vérification des tables produit
l’inclusion souhaitée S t (H ) ⊆ S t (G).
Théorème 5.1.2 (Harder, [96, I, §9]) Soit T un k-tore maximal de G. Alors pour
tout premier l ∈ S t (G) et toute extension de corps F/k, on a H 1 (F, T ){l} = 0,
H 1 (F,
T ){l} = 0 et H 1 (F,
T 0 ){l} = 0.
Lemme 5.1.3 Soient R un système de racines irréductible réduit et P le réseau des
poids. On note Δ le diagramme de Dynkin de R. Soient l un nombre premier et Γ
un l-groupe fini agissant sur R. Si l ∈ S t (G), alors P admet un sous Γ -module de
permutation P d’indice fini de degré premier à l.
Démonstration On note W (R) le groupe de Weyl de R, A(R) son groupe d’automorphismes et Q le réseau des racines. On note que Q est d’indice premier à l
dans P . L’action Γ → A(R) factorise par un l-groupe de Sylow de A(R), donc
un l-groupe de Sylow de W (R) (l) vu que l ∈ S t (Δ). On peut donc supposer que
Γ = W (R) (l) et on raisonne alors cas par cas. En types B n (n ≥ 3), C n (n ≥ 2),
Δ = D n (n ≥ 4), on prend P = Q; en effet, on a alors W (l) ⊂ S n .
Cas A n (n ≥ 1) On a une suite exacte de S n+1 = W (R)-modules 0 → Q →
Z[S n+1 /S n ]
− → Z → 0. On pose P =
(n + 1)[i] − 1
i=1,...,n
, c’est un sous-S n+1 -
module d’indice (n + 1), donc premier à l, qui est de permutation.
Cas Δ = E 6 Si l = 5, alors W (R) (l) = 1 et il n’y a rien à faire. Le groupe W (R) (5)
est cyclique et stabilise un sous-système R de R de type A 1 × A 5 . Alors Q(R ) est
d’indice premier à l dans Q(R) et le cas de A n indique que Q(R ) contient un sous
W (R) (5) -module de permutation qui est d’indice premier à l.
Cas Δ = E 7 Si l = 5, 7, alors W (R) (l) = 1 et ce cas est trivial. Le groupe
W (R) (5) (resp. W (R) (5) ) est cyclique et stabilise un sous-système R de R de type
A 7 . L’argument est alors le même que pour E 6 .
Cas Δ = E 8 On peut supposer aussi ici que l = 5, 7. Le groupe W (R) (5) (resp.
W (R) (7) ) est bicyclique (resp. cyclique) et stabilise un sous-système R de R de
type A 5 × A 5 (resp. A 8 ). Le même argument fonctionne.
Cas Δ = F 4 Vu que A(D 4 ) = W (F 4 ), ce cas suit de celui de D 4 .
Cas Δ = G 2 Ce cas est trivial puisque W (l) = 1.
Nous pouvons procéder à la démonstration du Théorème 5.1.2.
Démonstration On fixe un nombre premier l. On suppose que l ∈ S t (G). Soit T
un k-tore maximal de G. On note K nr l’extension maximale non ramifiée de K =
k((t)). Ceci permet de supposer que k est un corps l-spécial.
Cas G semi-simple simplement connexe presque k-simple On note R le système de
racines Φ(G k s , T k s ), il est simple et réduit. Comme G est simplement connexe, on a