Chapitre 5
Tores algébriques, Conjecture I et
groupes de normes
Ce chapitre contient la démonstration de la conjecture I (théorème de Steinberg) et
ses applications à l’étude des groupes de normes de torseurs sous des tores et de
variétés de sous-groupes de Borel d’un groupe réductif.
5.1 Rappels sur les groupes algébriques et leurs tores
maximaux
Le paragraphe 4.8 définit les entiers de torsion d’un k-groupe absolument presque
simple. Il est commode d’étendre cette définition au cas semi-simple arbitraire de la
façon suivante.
Si G k est de type Δ 1 ∪ · · · ∪ Δ m , où les Δ i sont des diagrammes de Dynkin
irréductibles, on note S(G) =
i=1,...,m
S(Δ i ) et S t (G) =
i=1,...,m
S t (Δ i ). Une raison
d’utiliser l’ensemble S t est justifiée par la compatibilité suivante.
Lemme 5.1.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Soit H un ksous-groupe réductif de rang maximal non exotique de G. Alors S t (DH ) ⊆ S t (G).
Démonstration Sans perte de généralité, on peut supposer k algébriquement clos
et que G est presque simple (simplement connexe) de diagramme de Dynkin Δ.
En outre, par récurrence sur la dimension, il est loisible de supposer que H est
maximal dans G parmi les sous-groupes réductifs de rang maximal non exotiques
de G. D’après Borel-de Siebenthal (cf. Proposition 3.1.9), deux cas exclusifs se
présentent:
H n’est pas semi-simple Alors H est un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe
parabolique propre de G. Le diagramme de Dynkin de DH est un sous-diagramme
de Δ, par inspection des tables, on vérifie aussitôt que S t (DH ) ⊆ S t (G).
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_5
75
Tores algébriques, Conjecture I et
groupes de normes
Ce chapitre contient la démonstration de la conjecture I (théorème de Steinberg) et
ses applications à l’étude des groupes de normes de torseurs sous des tores et de
variétés de sous-groupes de Borel d’un groupe réductif.
5.1 Rappels sur les groupes algébriques et leurs tores
maximaux
Le paragraphe 4.8 définit les entiers de torsion d’un k-groupe absolument presque
simple. Il est commode d’étendre cette définition au cas semi-simple arbitraire de la
façon suivante.
Si G k est de type Δ 1 ∪ · · · ∪ Δ m , où les Δ i sont des diagrammes de Dynkin
irréductibles, on note S(G) =
i=1,...,m
S(Δ i ) et S t (G) =
i=1,...,m
S t (Δ i ). Une raison
d’utiliser l’ensemble S t est justifiée par la compatibilité suivante.
Lemme 5.1.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe. Soit H un ksous-groupe réductif de rang maximal non exotique de G. Alors S t (DH ) ⊆ S t (G).
Démonstration Sans perte de généralité, on peut supposer k algébriquement clos
et que G est presque simple (simplement connexe) de diagramme de Dynkin Δ.
En outre, par récurrence sur la dimension, il est loisible de supposer que H est
maximal dans G parmi les sous-groupes réductifs de rang maximal non exotiques
de G. D’après Borel-de Siebenthal (cf. Proposition 3.1.9), deux cas exclusifs se
présentent:
H n’est pas semi-simple Alors H est un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe
parabolique propre de G. Le diagramme de Dynkin de DH est un sous-diagramme
de Δ, par inspection des tables, on vérifie aussitôt que S t (DH ) ⊆ S t (G).
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_5
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