4.8 Conjectures I et II de Serre, le type A intérieur
73
Remarque 4.8.5 Le Théorème 4.7.1 montre en fait l’énoncé plus fort suivant relatif
à un premier l. Si scd l (k) ≤ 2 et si X désigne une variété de Severi-Brauer
généralisée associée à des algèbres d’indices l-primaires, alors k × = N
s´ ep
X (k).
De façon plus précise, une telle variété est un produit X = R k 1 /k (X 1 ) × k · · · × k
R k n /k (X n ) où les k i sont des extensions finies séparables de k et X i /k i la variété de
Severi-Brauer d’une k i -algèbre simple centrale d’indice l m i . L’égalité k × = N
s´ ep
X (k)
résulte en effet de l’implication (i) ⇒ (iv) appliquée au k-groupe multiplicatif
μ = R k 1 /k (μ l m 1 ) × · · · × R k n /k (μ l mn ) et la classe γ ∈ H 2
fppf (k, μ)
∼
−→
H 2
fppf (k 1 , μ l m 1 ) ⊕ · · · ⊕ H 2
fppf (k n , μ l mn ) définie par les A i .
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Remarque 4.8.5 Le Théorème 4.7.1 montre en fait l’énoncé plus fort suivant relatif
à un premier l. Si scd l (k) ≤ 2 et si X désigne une variété de Severi-Brauer
généralisée associée à des algèbres d’indices l-primaires, alors k × = N
s´ ep
X (k).
De façon plus précise, une telle variété est un produit X = R k 1 /k (X 1 ) × k · · · × k
R k n /k (X n ) où les k i sont des extensions finies séparables de k et X i /k i la variété de
Severi-Brauer d’une k i -algèbre simple centrale d’indice l m i . L’égalité k × = N
s´ ep
X (k)
résulte en effet de l’implication (i) ⇒ (iv) appliquée au k-groupe multiplicatif
μ = R k 1 /k (μ l m 1 ) × · · · × R k n /k (μ l mn ) et la classe γ ∈ H 2
fppf (k, μ)
∼
−→
H 2
fppf (k 1 , μ l m 1 ) ⊕ · · · ⊕ H 2
fppf (k n , μ l mn ) définie par les A i .