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4 Dimension cohomologique séparable
Conjecture 4.8.1 (« Conjecture I ») Soit G un k-groupe absolument presque
simple. On suppose que pour tout premier l ∈ S(G), on a scd l (k) ≤ 1. Alors
H 1 (k, G) = 1.
Conjecture 4.8.2 (« Conjecture II ») Soit G un k-groupe absolument presque
simple et simplement connexe. On suppose que pour tout premier l ∈ S(G), on
a scd l (k) ≤ 2. Alors H 1 (k, G) = 1.
Soit A une k-algèbre simple centrale et notons d son degré. Plusieurs groupes
algébriques remarquables sont associés à A [115, §23]. On note GL 1 (A) le k-groupe
algébrique des unités de A, c’est-à-dire défini par GL 1 (A)(R) = (A ⊗ k R) × pour
toute k-algèbre R (commutative, avec unité). Son centre est le sous-groupe des
homothéties G m et on note PGL 1 (A) = GL 1 (A)/G m le k-groupe quotient. Le kgroupe PGL 1 (A) est un k-groupe absolument simple et adjoint, c’est une k-forme
intérieure de PGL d . Nous allons vérifier que la conjecture I vaut pour le k-groupe
PGL 1 (A). Il s’agit d’un k-groupe de type A d−1 donc ses premiers de torsion sont
les diviseurs premiers de 2d.
Proposition 4.8.3 On suppose que scd l (k) ≤ 1 pour tout premier l divisant d.
Alors A est déployée et H 1 (k, PGL 1 (A)) = 1.
Démonstration Sous cette hypothèse, on a l Br(k) = 0, donc d Br(k) = 0.
Comme A définit une classe [A] ∈ Br(k) dont la période divise d, il suit que
[A] = 0, donc A est déployée. Or l’ensemble H 1 (k, PGL 1 (A)) ∼ = H 1 (k, PGL n )
classifie les k-algèbres simples centrales de degré d [159, III.1.2]. On conclut que
H 1 (k, PGL 1 (A)) = 1.
Nous reviendrons sur les autres groupes semi-simples de type A intérieur au
chapitre suivant. Passons à la conjecture II pour le groupe semi-simple simplement
connexe SL 1 (A). La suite exacte 1 → SL 1 (A) → GL 1 (A)
Nrd A
− −− → G m → 1
induit une bijection k × /Nrd A (A × )
∼
−→ H 1 (k, SL 1 (A)) [86, 2.7.3]. La conjecture
II pour le k-groupe semi-simple simplement connexe SL 1 (A) est donc un énoncé
de surjectivité des normes réduites qui apparaît comme une conséquence du
Théorème 4.2.2 de Suslin.
Théorème 4.8.4 On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout premier l divisant d. Alors
H 1 (k, SL 1 (A)) = 1.
Démonstration On décompose d = l
n 1
1 · · · l
n m
m en facteurs premiers. L’isomorphisme μ l
n 1
1
×· · ·×μ l
nm
m
∼
−→ μ d , (x 1 , · · · x m ) → x 1 . . . x m induit un isomorphisme
k
× /k
×l
n 1
1 × · · · × k
× /k
×l
nm
m
∼
−→ k
× /k
×d
en prenant la cohomologie plate H 1
fppf . Le Théorème 4.7.1 montre que k × =
Nrd(A × ) . k
×l
n i
i
pour i = 1, . . . , m, d’où k × = Nrd(A × ) . k ×d en utilisant
l’isomorphisme ci-dessus. Or k ×d = Nrd A (k × ) ⊆ Nrd(A × ), ce qui permet de
conclure que k × = Nrd(A × ).
4 Dimension cohomologique séparable
Conjecture 4.8.1 (« Conjecture I ») Soit G un k-groupe absolument presque
simple. On suppose que pour tout premier l ∈ S(G), on a scd l (k) ≤ 1. Alors
H 1 (k, G) = 1.
Conjecture 4.8.2 (« Conjecture II ») Soit G un k-groupe absolument presque
simple et simplement connexe. On suppose que pour tout premier l ∈ S(G), on
a scd l (k) ≤ 2. Alors H 1 (k, G) = 1.
Soit A une k-algèbre simple centrale et notons d son degré. Plusieurs groupes
algébriques remarquables sont associés à A [115, §23]. On note GL 1 (A) le k-groupe
algébrique des unités de A, c’est-à-dire défini par GL 1 (A)(R) = (A ⊗ k R) × pour
toute k-algèbre R (commutative, avec unité). Son centre est le sous-groupe des
homothéties G m et on note PGL 1 (A) = GL 1 (A)/G m le k-groupe quotient. Le kgroupe PGL 1 (A) est un k-groupe absolument simple et adjoint, c’est une k-forme
intérieure de PGL d . Nous allons vérifier que la conjecture I vaut pour le k-groupe
PGL 1 (A). Il s’agit d’un k-groupe de type A d−1 donc ses premiers de torsion sont
les diviseurs premiers de 2d.
Proposition 4.8.3 On suppose que scd l (k) ≤ 1 pour tout premier l divisant d.
Alors A est déployée et H 1 (k, PGL 1 (A)) = 1.
Démonstration Sous cette hypothèse, on a l Br(k) = 0, donc d Br(k) = 0.
Comme A définit une classe [A] ∈ Br(k) dont la période divise d, il suit que
[A] = 0, donc A est déployée. Or l’ensemble H 1 (k, PGL 1 (A)) ∼ = H 1 (k, PGL n )
classifie les k-algèbres simples centrales de degré d [159, III.1.2]. On conclut que
H 1 (k, PGL 1 (A)) = 1.
Nous reviendrons sur les autres groupes semi-simples de type A intérieur au
chapitre suivant. Passons à la conjecture II pour le groupe semi-simple simplement
connexe SL 1 (A). La suite exacte 1 → SL 1 (A) → GL 1 (A)
Nrd A
− −− → G m → 1
induit une bijection k × /Nrd A (A × )
∼
−→ H 1 (k, SL 1 (A)) [86, 2.7.3]. La conjecture
II pour le k-groupe semi-simple simplement connexe SL 1 (A) est donc un énoncé
de surjectivité des normes réduites qui apparaît comme une conséquence du
Théorème 4.2.2 de Suslin.
Théorème 4.8.4 On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout premier l divisant d. Alors
H 1 (k, SL 1 (A)) = 1.
Démonstration On décompose d = l
n 1
1 · · · l
n m
m en facteurs premiers. L’isomorphisme μ l
n 1
1
×· · ·×μ l
nm
m
∼
−→ μ d , (x 1 , · · · x m ) → x 1 . . . x m induit un isomorphisme
k
× /k
×l
n 1
1 × · · · × k
× /k
×l
nm
m
∼
−→ k
× /k
×d
en prenant la cohomologie plate H 1
fppf . Le Théorème 4.7.1 montre que k × =
Nrd(A × ) . k
×l
n i
i
pour i = 1, . . . , m, d’où k × = Nrd(A × ) . k ×d en utilisant
l’isomorphisme ci-dessus. Or k ×d = Nrd A (k × ) ⊆ Nrd(A × ), ce qui permet de
conclure que k × = Nrd(A × ).