4.8 Conjectures I et II de Serre, le type A intérieur
71
[B]. D’après (iv’), on a N
s´ ep
γ (L) . L ×l n = L × . Or N
s´ ep
γ (L) = N
s´ ep
X (L) = Nrd(B × )
en vertu de la Proposition 4.1.8, d’où Nrd(B × ) . L ×l n = L × .
(iii ) ⇒ (ii) : Évident.
On montre maintenant les équivalences (iii) ⇐⇒ (iii ), (iv) ⇐⇒ (iv ),
(v) ⇐⇒ (v ) qui résultent du même procédé de localisation. Traitons par exemple
le dernier cas.
(v ) ⇒ (v) : On peut supposer que L = k et on se donne une classe γ ∈
H 1 (k, T ){l}. Il existe une extension galoisienne finie K de K qui tue γ . On pose
l n = [K : K] et on a K ×l n ⊂ N K /K (K × ) ⊂ N
s´ ep
γ (K). Par ailleurs, l’assertion (v’)
nous informe que K × = N
s´ ep
γ (K) . K ×l n , d’où aussitôt K × = N
s´ ep
γ (K). D’aute part,
soit m un nombre premier distinct de l. Alors γ k (m) = 0, d’où (k (m) ) × = N
s´ ep
γ (k (m) ).
Le Lemme 4.1.7.(2) permet de conclure que N
s´ ep
γ (k) = k × .
(v) ⇒ (v ) : On peut supposer que L = k et on se donne une classe γ ∈
H 1 (k, T ). Alors γ K ∈ H 1 (K, T ){l} et l’assertion (v) nous informe que K × =
N
s´ ep
γ (K). Le Lemme 4.1.7.(1) indique alors que N
s´ ep
γ (k) .k ×n = k × pour tout n ≥ 1.
4.8 Conjectures I et II de Serre, le type A intérieur
On reproduit ici les versions de la conjecture en caractéristique libre dans le cas
semi-simple énoncés par Serre en 1994 [158, §4,5]. On rappelle qu’un k-groupe
semi-simple G est absolument presque simple si G × k k est un groupe algébrique
presque simple, i.e. tout k-sous-groupe algébrique distingué de G k est fini ou de
façon équivalente si le diagramme de Dynkin Δ de G k est connexe [175, §1.2.2].
A chaque diagramme de Dynkin connexe Δ, on associe la liste S(Δ) de nombres
premiers de « torsion » définis par la table 4.1 ci-dessous.
Ayant en vue l’étude des tores maximaux, on définit la variante suivante. On note
S t (Δ) = S(Δ) si Δ = G 2 et S t (G 2 ) = {2, 3}. Le diagramme de Dynkin G 2 est
donc l’unique cas où les deux ensembles sont distincts.
Si G est un k-groupe algébrique absolument presque simple de type absolu Δ,
on pose alors S(G) = S(Δ) et S t (G) = S t (Δ).
Tableau 4.1 Table des
premiers de torsion
Type
S(Δ)
A n (n ≥ 1)
diviseurs premiers de 2(n + 1)
B n (n ≥ 3)
2
C n (n ≥ 2)
2
D n (n ≥ 5)
2
D 4 , E 6 , E 7 , F 4 2,3
E 8
2,3,5
G 2
2
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[B]. D’après (iv’), on a N
s´ ep
γ (L) . L ×l n = L × . Or N
s´ ep
γ (L) = N
s´ ep
X (L) = Nrd(B × )
en vertu de la Proposition 4.1.8, d’où Nrd(B × ) . L ×l n = L × .
(iii ) ⇒ (ii) : Évident.
On montre maintenant les équivalences (iii) ⇐⇒ (iii ), (iv) ⇐⇒ (iv ),
(v) ⇐⇒ (v ) qui résultent du même procédé de localisation. Traitons par exemple
le dernier cas.
(v ) ⇒ (v) : On peut supposer que L = k et on se donne une classe γ ∈
H 1 (k, T ){l}. Il existe une extension galoisienne finie K de K qui tue γ . On pose
l n = [K : K] et on a K ×l n ⊂ N K /K (K × ) ⊂ N
s´ ep
γ (K). Par ailleurs, l’assertion (v’)
nous informe que K × = N
s´ ep
γ (K) . K ×l n , d’où aussitôt K × = N
s´ ep
γ (K). D’aute part,
soit m un nombre premier distinct de l. Alors γ k (m) = 0, d’où (k (m) ) × = N
s´ ep
γ (k (m) ).
Le Lemme 4.1.7.(2) permet de conclure que N
s´ ep
γ (k) = k × .
(v) ⇒ (v ) : On peut supposer que L = k et on se donne une classe γ ∈
H 1 (k, T ). Alors γ K ∈ H 1 (K, T ){l} et l’assertion (v) nous informe que K × =
N
s´ ep
γ (K). Le Lemme 4.1.7.(1) indique alors que N
s´ ep
γ (k) .k ×n = k × pour tout n ≥ 1.
4.8 Conjectures I et II de Serre, le type A intérieur
On reproduit ici les versions de la conjecture en caractéristique libre dans le cas
semi-simple énoncés par Serre en 1994 [158, §4,5]. On rappelle qu’un k-groupe
semi-simple G est absolument presque simple si G × k k est un groupe algébrique
presque simple, i.e. tout k-sous-groupe algébrique distingué de G k est fini ou de
façon équivalente si le diagramme de Dynkin Δ de G k est connexe [175, §1.2.2].
A chaque diagramme de Dynkin connexe Δ, on associe la liste S(Δ) de nombres
premiers de « torsion » définis par la table 4.1 ci-dessous.
Ayant en vue l’étude des tores maximaux, on définit la variante suivante. On note
S t (Δ) = S(Δ) si Δ = G 2 et S t (G 2 ) = {2, 3}. Le diagramme de Dynkin G 2 est
donc l’unique cas où les deux ensembles sont distincts.
Si G est un k-groupe algébrique absolument presque simple de type absolu Δ,
on pose alors S(G) = S(Δ) et S t (G) = S t (Δ).
Tableau 4.1 Table des
premiers de torsion
Type
S(Δ)
A n (n ≥ 1)
diviseurs premiers de 2(n + 1)
B n (n ≥ 3)
2
C n (n ≥ 2)
2
D n (n ≥ 5)
2
D 4 , E 6 , E 7 , F 4 2,3
E 8
2,3,5
G 2
2