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4 Dimension cohomologique séparable
Démonstration Le même procédé que dans la démonstration de la Proposition 4.6.2
produit les équivalences (iv) ⇐⇒ (v) et (iv ) ⇐⇒ (v ). On note K = k (l) .
(i) ⇒ (ii) : C’est une conséquence immédiate du Théorème 4.4.1.
(ii) ⇒ (i) : Il est loisible de remplacer k par K (Lemme 4.5.4.(2)). Soit L
une extension finie de corps séparable de K. C’est un corps l-spécial et nous allons
montrer que H 3
l (L) = 0. Etant donné une classe γ ∈ H 3
l (L), elle est tuée par une
extension finie séparable L /L qui est une tour d’extensions cycliques de degré l.
On est ainsi ramené à montrer l’injectivité de H 3
l (L) → H 3
l (L ) pour une extension
L /L cyclique de degré l. D’après Merkurjev-Suslin si l = p [134, 15.6] (resp.
Izhboldin si l = p [98, th. D]), on a une suite exacte
K
M
2 (L
)
N L /L
−−−→ K
M
2 (L)
χ.
− → H
3
l (L) → H
3
l (L
)
où χ ∈ H 1
l (L) = H 1 (L, Z/lZ) désigne un caractère définissant l’extension
cyclique L /L. Etant donné un symbole {b, c} ∈ K M
2 (L) , on écrit χ.{b, c} =
(χ.{b}).(c) = (c).[(χ, b)] ∈ H
3
l (L). Vu que (χ, b) est une L-algèbre simple
centrale cyclique de degré l, l’hypothèse indique que c ∈ Nrd
(χ, b) ×
, d’où
(c).[(χ, b)] = 0 ∈ H 3
l (L). Par suite, l’application K M
2 (K)
χ.
−→ H 3
l (L) est triviale,
d’où l’on conclut que H 3
l (L) s’injecte dans H 3
l (L ).
(ii) ⇒ (iv ) : On commence par le cas μ = μ l . Sans perte de généralité,
on peut supposer que L = k. D’après le Lemme 4.1.7.(1), il suffit de montrer que
N
s´ ep
γ (K) = K × . Alors γ ∈ H 2
fppf (K, μ l ) ∼ = l Br(K) s’écrit γ = γ 1 + · · · + γ r
où les γ i sont des classes d’algèbres cycliques de degré l; si l est inversible dans k,
c’est le théorème de Merkurjev-Suslin, si l est l’exposant caractéristique de k, c’est
le théorème de Teichmüller [86, th. 9.1.4]. On a E := D γ 1 ∧ · · · ∧ D γ r ≤ D γ , d’où
N
s´ ep
E (K) ⊆ N
s´ ep
γ (K). Notre hypothèse entraîne que N
s´ ep
γ i (K ) = (K ) × pour toute
extension finie séparable de K et le Lemme 4.1.6.(5) montre que N
s´ ep
E (K) = K × .
On conclut que N
s´ ep
γ (K) = K × .
On passe au cas d’un μ général et de même on peut travailler avec K. Le
K-groupe μ K admet une suite de composition à quotients μ l . On raisonne par
récurrence sur la longueur d’un telle suite, le cas de longueur 1 étant réglé. Si
μ est de longueur ≥ 2, on écrit 1 → μ l → μ → ν → 1. Etant donné
γ ∈ H 2
fppf (K, μ), on note θ son image dans H 2
fppf (K, ν). Ayant en vue l’application
du Lemme 4.1.6.(4), on considère les fonctions de détermination D = D γ et
E = D γ . On a D ≤ E et l’hypothèse de récurrence indique que N
s´ ep
E (K) = K × .
On se donne une extension finie séparable K de K satisfaisant E(K ) = •, i.e.
θ K = 0. Alors γ K provient d’une classe β ∈ H 2
fppf (K , μ l ) et on a D β ≤ D K . Par
le premier cas, on a N
s´ ep
β (K ) = (K ) × , d’où N
s´ ep
D (K ) = (K ) × . Les conditions du
Lemme 4.1.6.(4) sont donc réunies et on conclut que N
s´ ep
D (K) = N
s´ ep
γ (K) = K × .
(iv ) ⇒ (iii ) : Soit B/L comme en (iii’). On note d la période de B et X/L
sa variété de Severi-Brauer. Soit γ ∈ H 2
fppf (L, μ d ) ∼ = d Br(L) la classe associée à
4 Dimension cohomologique séparable
Démonstration Le même procédé que dans la démonstration de la Proposition 4.6.2
produit les équivalences (iv) ⇐⇒ (v) et (iv ) ⇐⇒ (v ). On note K = k (l) .
(i) ⇒ (ii) : C’est une conséquence immédiate du Théorème 4.4.1.
(ii) ⇒ (i) : Il est loisible de remplacer k par K (Lemme 4.5.4.(2)). Soit L
une extension finie de corps séparable de K. C’est un corps l-spécial et nous allons
montrer que H 3
l (L) = 0. Etant donné une classe γ ∈ H 3
l (L), elle est tuée par une
extension finie séparable L /L qui est une tour d’extensions cycliques de degré l.
On est ainsi ramené à montrer l’injectivité de H 3
l (L) → H 3
l (L ) pour une extension
L /L cyclique de degré l. D’après Merkurjev-Suslin si l = p [134, 15.6] (resp.
Izhboldin si l = p [98, th. D]), on a une suite exacte
K
M
2 (L
)
N L /L
−−−→ K
M
2 (L)
χ.
− → H
3
l (L) → H
3
l (L
)
où χ ∈ H 1
l (L) = H 1 (L, Z/lZ) désigne un caractère définissant l’extension
cyclique L /L. Etant donné un symbole {b, c} ∈ K M
2 (L) , on écrit χ.{b, c} =
(χ.{b}).(c) = (c).[(χ, b)] ∈ H
3
l (L). Vu que (χ, b) est une L-algèbre simple
centrale cyclique de degré l, l’hypothèse indique que c ∈ Nrd
(χ, b) ×
, d’où
(c).[(χ, b)] = 0 ∈ H 3
l (L). Par suite, l’application K M
2 (K)
χ.
−→ H 3
l (L) est triviale,
d’où l’on conclut que H 3
l (L) s’injecte dans H 3
l (L ).
(ii) ⇒ (iv ) : On commence par le cas μ = μ l . Sans perte de généralité,
on peut supposer que L = k. D’après le Lemme 4.1.7.(1), il suffit de montrer que
N
s´ ep
γ (K) = K × . Alors γ ∈ H 2
fppf (K, μ l ) ∼ = l Br(K) s’écrit γ = γ 1 + · · · + γ r
où les γ i sont des classes d’algèbres cycliques de degré l; si l est inversible dans k,
c’est le théorème de Merkurjev-Suslin, si l est l’exposant caractéristique de k, c’est
le théorème de Teichmüller [86, th. 9.1.4]. On a E := D γ 1 ∧ · · · ∧ D γ r ≤ D γ , d’où
N
s´ ep
E (K) ⊆ N
s´ ep
γ (K). Notre hypothèse entraîne que N
s´ ep
γ i (K ) = (K ) × pour toute
extension finie séparable de K et le Lemme 4.1.6.(5) montre que N
s´ ep
E (K) = K × .
On conclut que N
s´ ep
γ (K) = K × .
On passe au cas d’un μ général et de même on peut travailler avec K. Le
K-groupe μ K admet une suite de composition à quotients μ l . On raisonne par
récurrence sur la longueur d’un telle suite, le cas de longueur 1 étant réglé. Si
μ est de longueur ≥ 2, on écrit 1 → μ l → μ → ν → 1. Etant donné
γ ∈ H 2
fppf (K, μ), on note θ son image dans H 2
fppf (K, ν). Ayant en vue l’application
du Lemme 4.1.6.(4), on considère les fonctions de détermination D = D γ et
E = D γ . On a D ≤ E et l’hypothèse de récurrence indique que N
s´ ep
E (K) = K × .
On se donne une extension finie séparable K de K satisfaisant E(K ) = •, i.e.
θ K = 0. Alors γ K provient d’une classe β ∈ H 2
fppf (K , μ l ) et on a D β ≤ D K . Par
le premier cas, on a N
s´ ep
β (K ) = (K ) × , d’où N
s´ ep
D (K ) = (K ) × . Les conditions du
Lemme 4.1.6.(4) sont donc réunies et on conclut que N
s´ ep
D (K) = N
s´ ep
γ (K) = K × .
(iv ) ⇒ (iii ) : Soit B/L comme en (iii’). On note d la période de B et X/L
sa variété de Severi-Brauer. Soit γ ∈ H 2
fppf (L, μ d ) ∼ = d Br(L) la classe associée à